2024届高考数学一轮复习 函数与方程导学案.DOC

第8讲函数与方程

导学目标：1函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求；2二分法求相应方程的近似解，B级要求

知识梳理：

1函数零点的定义

(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使y＝f(x)的值为____的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点

(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与有交点?函数y＝f(x)有

2函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根

3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝

ax2＋bx＋c

(a0)的图象

与x轴的交点

(x1,0)

无交点

零点个数

4二分法

（1）定义对于区间[a，b]上连续不断的，且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；

③计算f(c)；

(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))

④判断是否达到精确度ε：即若|ab|＜ε，则得到零点近似值

a(或b)；否则重复②③④

课前自测：

1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0()

(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点()

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b24ac

(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()

(6)函数y＝2sinx1的零点有无数多个()

(7)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则1keq\f(1,2)()

(8)(2024·湖北卷改编)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为2()

(9)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(2,0)()

2下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是________(填序号)

3若函数f(x)＝x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2ax1的零点是________

4(2024·天津)函数f(x)＝2x|log05x|1的零点个数为________

5已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是________

x

1

0

1

2

3

f(x)

0677

30

5432

5980

7651

g(x)

0530

3451

4890

5241

6892

课堂重点：

【例1】函数零点的判断和求解

(1)(2024·湖北改编)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为________

(2)设函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)(x≠0)当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________

【训练1】(1)根据表格中的数据，可以判定方程exx2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________

x

1

0

1

2

3

ex

037

1

272

739

2024

x＋2

1

2

3

4

5

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)log3|x|的零点个数是________

【例2】与二次函数有关的零点分布

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a2)x＋a1在区间[1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a

【训练2】（1）已知f(x)＝x2＋(a21)x＋(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围

【例3】函数零点的应用

若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取