高等数学（工科类）课件 第二章 导数与微分.pptx

;引例1：高铁复兴号高速平稳运行探究

中国如今拥有世界上首条高寒高铁（哈大高铁），世界上单条运营里程最长的高铁（京广高铁），世界上一次性建成里程最长的高铁（兰新高铁）.截至2021年底，中国高速铁路运营总里程达4万公里，已能绕地球赤道一周，居世界第一.列车最高运营速度350千米/小时，居全球首位.高铁已经成为中国科技创新的标志性成果，也是中国向世界递出的一张靓丽的名片（见图2-1）.

在乘坐高速铁路时你是否注意到，高铁列车的所有车门处都有显示列车速度的显示屏，乘客可以通过显示器了解高速铁路的当前运行速度，即瞬时速度(见图2-2）.那么，如何从数学的角度来刻画这种随时间变化的“瞬时速度”呢？

为直观理解列车运行中的瞬时速度，我们利用数学模型对问题进行简要分析.;假设物体前进中的运动方程为，其中(米)表示时刻(秒)时物体的位移.

通过计算得出在附近，的取值情况，列表如下：;将上述过程用极限表示，这一数学结构就是我们要探究的“导数”，记为或，即;引例2事实上，高铁列车不仅快，它还具有卓越的稳定性.乘客在乘坐的过程中，不眺望车窗外几乎感觉不到列车在急速前进.列车在运行中要保持平稳，转弯处列车应沿着轨道的切线方向前进.数学上切线的方向与切线的斜率密切相关，那么该如何表示平面曲线上过一点的切线斜率呢？

分析平面上圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”，但是对于其它曲线以此作为切线的定义就不一定合适了.一般平面曲线切线的定义为，设有曲线及上的一点(如图2-3所示)，在点外另取上一点，作割线.当点沿曲线趋于点时，同时割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线.

;设?为割线的倾角，于是割线的斜率为.当点沿曲线趋于点时，.如果当时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线的倾角.

;设?为割线的倾角，于是割线的斜率为.当点沿曲线趋于点时，.如果???时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线的倾角.

;2.1.1导数的定义;例1求函数在处的导数.

解当由变到时，相应增量为

所以,.;.

例2已知，试计算极限：

解已知，由导数定义可得,也有

;定义2.2如果函数在开区间内的每一点处都可导,就称函数在开区间可导.此时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，简称为导数，记作

，，，或.

显然，导数的求解式为.需注意的是该式中虽然可以取区间的任意值，但取极限的过程依赖于，即是常数，是变量.;例3求函数(为常数)的导数.

解

，即.;解=，

，即.

所以.

用类似的方法，可求得：