极值点偏移问题课件-2025届高三数学二轮专题复习.pptxVIP

2025高考数学二轮复习极值点偏移问题

1.极值点偏移是指函数在极值点x0左边和右边的增减速度不一样,导致函数图象不关于直线x=x0对称,如图所示.(1)左右对称,无偏移,如二次函数.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0,如图(1).(2)左陡右缓,极值点向左偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x22x0,如图(2).(3)左缓右陡,极值点向右偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x22x0,如图(3).图(1)图(2)图(3)

2.极值点偏移问题的结论不一定总是x1+x22x0(或2x0),也可能是x1x2常用的解法有对称化构造函数法和比值代换法.

角度一对称化构造函数例1(2024广东湛江一模)已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x21.

当0x1时,f(x)0,则f(x)在(0,1)内单调递增,当x1时,f(x)0,则f(x)在(1,+∞)内单调递减.

角度二比(差)值换元例2(2024天津一模)设函数f(x)=x2+lnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)-ax(a∈R).①若x=1时,g(x)取得极值,求g(x)的单调区间;

(1)解f(x)=2x+,则f(1)=3,f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.

针对训练1.(2024山西太原模拟)已知函数f(x)=lnx++mx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(0x1x2),求证:x1+x22.

当-m0时,0x2x1,∴函数f(x)在(0,x2),(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增.当m0时,x10x2,∴函数f(x)在(0,x2)内单调递减,在(x2,+∞)内单调递增.

∴函数h(x)在(0,1)内单调递增,∴h(x1)=g(2-x1)-g(x1)h(1)=0,∴g(2-x1)g(x1)=g(x2).∵2-x11,x21,g(x)在(1,+∞)内单调递增,∴2-x1x2,故x1+x22.

2.(2024江西南昌高三期末)已知函数f(x)=x-lnx-2.(1)求f(x)的最小值;(2)若方程f(x)=a有两个不相等的实数根x1,x2(x1x2),证明:x1+2x23.所以f(x)0?x1,f(x)0?0x1,从而f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故f(x)min=f(1)=-1.

(2)证明由(1)可得0x11x2,因为x1和x2是方程f(x)=a的实根,两式作差得x1-x2-lnx1+lnx2=0,