2024年高中数学 311方程的根与函数的零点同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1.doc

2024年高中数学3方程的根与函数的零点同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1

(本栏目内容，在学生用书中以形式分册装订！)

一选择题(每小题5分，共20分)

1函数y＝eq\f(4,x)x的零点是()

A2 B2

C2，2 D(2，2)

解析：令eq\f(4,x)x＝0，得eq\f(4x2,x)＝0，得x＝±2

故函数y＝eq\f(4,x)x的零点是±2

答案：C

2二次函数y＝x2kx1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是()

A0 B1

C2 D无法确定

解析：二次函数y＝f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)＝0的实根个数有关由于Δ＝b24ac＝(k)24×1×(1)＝k2＋4，无论k为何实数，Δ0恒成立，即方程x2kx1＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数y＝x2kx1的图象与x

答案：C

3若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()

A(0,1) B(1,125)

C(125,175) D(175,2)

解析：构造函数f(x)＝lgx＋x2，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(175)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))＝lgeq\f(7,4)eq\f(1,4)0，f(2)＝lg20，所以f(175)·f(2)0，故函数的零点所在区间为(175,2)，即方程lgx＋x＝2的解x0属于区间(175,2)，故选D

答案：D

4对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()

A一定有零点 B一定没有零点

C可能有两个零点 D至少有一个零点

解析：若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知AD错，若如图(3)所示，可知B错

答案：C

二填空题(每小题5分，共10分)

5函数f(x)＝eq\f(x24,x2)的零点是________

解析：本题易认为函数的零点有两个，即由x24＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内

答案：2

6若函数f(x)＝2x2ax＋8只有一个零点，则实数a的值等于________

解析：函数f(x)＝2x2ax＋8只有一个零点，

即方程2x2ax＋8＝0只有一个解，

则Δ＝a24×2×8＝0，

解得a＝±8

答案：±8

三解答题(每小题10分，共20分)

7求下列函数的零点

(1)f(x)＝6x2＋5x＋1；

(2)f(x)＝x3＋1；

(3)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x1)

解析：(1)∵f(x)＝6x2＋5x＋1＝(6x＋1)(x1)，

令(6x＋1)(x1)＝0，解得x＝eq\f(1,6)或x＝1，

∴f(x)＝6x2＋5x＋1的零点是x＝eq\f(1,6)和x＝1

(2)∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2x＋1)，

令(x＋1)(x2x＋1)＝0，

解得x＝1，

∴f(x)＝x3＋1的零点是x＝1

(3)∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x1)＝eq\f(?x＋1?2,x1)，

令eq\f(?x＋1?2,x1)＝0，解得x＝1，

∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x1)的零点是x＝1

8判断下列函数在给定区间上是否存在零点：

(1)f(x)＝x23x18，x∈(1,8)；

(2)f(x)＝x2＋x＋2

解析：(1)方法一：∵f(1)＝1318＝200，f(8)＝642418＝220，

∴f(1)·f(8)0

又∵函数f(x)的图象在区间(1,8)上是连续不断的，

∴函数f(x)＝x23x18在(1,8)上存在零点

方法二：令f(x)＝x23x18＝0，

即(x6)(x＋3)＝0，

解得x＝3或x＝6

∵6∈(1,8)，

∴函数f(x)＝x23x18在(1,8)上存在零点

(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝124×1×2＝70，

所以方程无实数解，

所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点

eq\x(尖子生题库)☆☆☆

9(10分)已知关于x的方程ax22(a＋1)x＋a1＝0，讨论a为何值时，(1)方程有一实根；(2)方程有一正一负两实根

解析：(1)①当a＝0时，方程变为2x1＝0，

则x＝eq\f(1,2)，符合题意；

②当a≠0时，方程为二次方程，若方程有一实根，则Δ＝12a＋4＝0，解得a＝eq\f(1,3)

故当a＝0或a＝eq\f(1,3)时，关于x的方程ax22(a＋1)x＋a1＝0有一实根

(2)若方程有一正一负两实根，则a(a1)0，

解得0a1

故当0a1时，方程有一正一负两实根