2024年高中数学 311柯西不等式（1）学案新人教版选修45.doc

选修45学案§311柯西不等式(1)

☆学习目标：1认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;

2会证明二维柯西不等式及向量形式

?知识情景：

1定理1如果,那么当且仅当时,等号成立

当时，由基本不等式：

2如果,那么，

另一方面，有

问题：

?新知建构：

1柯西不等式：若，则

当且仅当时,等号成立

此即二维形式的柯西不等式

证法10（综合法）

当且仅当时,等号成立

证法20（构造法）

分析：

而的结构特征

那么，

证：设，

∵0恒成立

∴得证

证法30（向量法）设向量，，则，

∵，且，有

∴得证

2二维柯西不等式的变式：

变式10若，则或；

变式20若，则；

变式30若，则

几何意义:

3二维柯西不等式的应用：

例4