2024年高中数学 34基本不等式（一）导学案新人教版必修5.doc

34基本不等式（一）

【学习目标】1学会推导不等式，理解不等式的几何意义。

2知道算术平均数几何平均数的概念

重点：基本不等式的推导及应用。难点：理解“当且仅当时取等号”的意义。

【课前导学】请阅《必修5》后完成下面问题：

ABDC1如图所示是我国古代数学家赵爽设计的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上被选为会标。设小直角三角形的两条直角边为，则大正方形的边长为，大正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为。于是有4。当中间的小正方形缩成一点，

AB

DC

即其面积S=______时，有S____4S，_____。

2(1)一般地，对任意实数有，当且仅当时，

等号成立。请在下面给予证明。

(2)特别地若00，当用分别代替可得+≥2，常写成≤，当且仅当时等号成立。阅读课本98完成证明并完成课本的填空。

EAOCBDR，，

E

AOCB

D

R

此不等式还有别的证法吗？请课后尝试一下。

3如图，阅读课本98的探究，圆的半径OD=______。

易知R△ACD∽R△DCB，得CD=________。由图知OD≥CD，即_______。

我们把叫正数的算术平均数(也是的等差中项)，两正数的几何平均数(也是的正的等比中项)，于是此不等式的几何意义即为______________________________________________________。

4判断正误：(1)+1≥2()；(2)≥2()；(3)≥2()；

(4)≥2()；(5)≤()()。

【典例探究】例1若0，求=的最小值及此时的值。

变式：若0，求=的最大值。

例2：（1）用篱笆围一个面积为36的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？最短为多少？

（2）一段长为100m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？最大为多少？

总结：两个实数(1)若它们的积为定值，则它们的和有最值，当且仅当成立。

(2)若它们的和为定值，则它们的和有最值，当且仅当。

【课后作业】

1（1），当时，=。

（2），当时，取得最值，并且它为。

2（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

3用长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？

4直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？