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（完整版）常微分方程基本概念习题及解答

§1.2常微分方程基本概念习题及解答

1．dx

dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y

dy=2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cy=e2x+ec=cex2另外

y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1

特解为y=e2

x.

2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11+xdx两边积分:-y

1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1+xc另外y=0,x=-1也是原方程的解

x=0,y=1时c=e

特解：y=|

)1(|ln1+xc3．dxdy=y

xxyy32

1++解：原方程为：dx

dy=yy21+31xx+yy21+dy=3

1xx+dx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

4.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为：yy-1dy=-x

x1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dxdy=-y

xyx+-令

x

y=u则dxdy=u+xdxdu代入有：-112++uudu=x1dxln(u

2+1)x2=c-2arctgu

即ln(y2+x2)=c-2arctg

2xy.6.xdx

dy-y+22yx-=0解：原方程为：

dxdy=xy+xx||-2)(1xy-则令

xy=udxdy=u+xdxdu211

u-du=sgnxx

1dxarcsinx

y=sgnxln|x|+c7.tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：tgydy=ctgx

dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=xccos1=x

ccos另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的

通解为sinycosx=c.8dxdy+y

ex

y32

+=0解：原方程为：dxdy=yey2ex3

2ex3-3e2y-=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：dxdy=xylnx

y令x

y=u,则dxdy=u+xdxduu+xdx

du=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln

xy=cy.10.dx

dy=eyx-解：原方程为：

dxdy=exey-ey=cex11dx

dy=(x+y)2解：令x+y=u,则

dxdy=dxdu-1dx

du-1=u22

11u+du=dxarctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c12.dxdy=2)

(1yx+解：令x+y=u,则

dxdy=dxdu-1dxdu-1=21u

u-arctgu=x+c

y-arctg(x+y)=c.13.dxdy=1

212+-+-yxyx

解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

dxy-d(y2-y)-dx2+x=c

xy-y2+y-x2-x=c14:dxdy=2

5--+-yxyx解：原