2024年高中数学《指数函数的图像与性质的应用》导学案 北师大版必修1.doc

第4课时指数函数的图像与性质的应用

1理解和掌握指数函数的图像与性质

2掌握不同的指数函数的图像间的关系与图像变换

3能根据指数函数的图像研究它的定义域值域特殊点单调性奇偶性最值

4会求指数型复合函数的定义域值域单调性

在上一节课我们已经归纳了指数函数的概念及其图像和性质,并会利用指数函数的单调性比较幂的大小这一节课我们将进一步探究指数函数的图像变换,以及指数型复合函数的单调性值域的求法

问题1:函数y=2x与y=(12)x

函数y=2x与y=(12)x的图像关于

实质是y=2x上的点与y=(12)x上的点关于y轴对称

问题2:基本函数图像变换有以下几种形式:

y=f(x)y=f(x+a)(a≠0)

y=f(x)y=f(x)+b(b≠0)

y=f(x)y=f(x)

y=f(x)y=f(x)

y=f(x)y=f(|x|)

y=f(x)y=|f(x)|

问题3:什么是复合函数?复合函数的单调性怎么判断?

设y=f(u),u=φ(x),且函数φ(x)的值域包含在f(u)的定义域内,那么y通过u的联系也是自变量x的函数,我们称y为x的,记为y=f[φ(x)],其中u称为中间变量?

复合函数y=f[φ(x)]的单调性与构成它的函数u=φ(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:

函数

单调性

u=φ(x)

增

增

减

减

y=f(u)

增

减

增

减

y=f[φ(x)]

增

减

减

增

即有结论:“”?

问题4:指数型复合函数y=f(ax)或y=af(x)的定义域和值域如何求?

(1)指数型复合函数y=f(ax)的定义域是;它的值域应先求ax的取值范围,再求y=f(ax)的值域?

(2)指数型复合函数y=af(x)的定义域就是的定义域,这样,就把求这种类型的函数的定义域问题转化为求指数有意义的x的集合;它的值域不但要考虑f(x)的值域,还要明确a1还是0a1,利用指数函数的求值域?

1若指数函数f(x)=(a1)x是R上的减函数,则a的取值范围是()

Aa2 Ba2 C0a1 D1a2

2函数y=(13)x

A(∞,0) B(0,1] C[1,+∞) D(∞,1]

3满足(12)x1的x的取值范围是

4若函数f(x)=e-(x-u)2的最大值为m,且

指数型函数图像的变换

利用函数y=2x的图像作出下列函数的图像

①y=2x1;②y=2x1

指数型复合函数的定义域值域

已知函数y=(12

指数函数性质的综合应用

定义运算a⊕b=a,ab,b

求:(1)f(x)的解析式;

(2)画出f(x)的图像,并指出单调区间值域以及奇偶性

作出下列各函数图像

①y=2|x|;②y=2x;③y=|2x1|

求函数y=(12

若函数f(x)=ax1(a0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值

1下列结论正确的是()

A对于x∈R,恒有3x2x By=(2)x是增函数

C对a1,x∈R,一定有axax Dy=2|x|是偶函数

2预测人口的变化趋势有多种方法,最常用的是“直接推算法”,使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k为常数,k1),其中Pn为预测期内n年后的人口数,P0为初期人口数,k为预测期内的年增长率,如果1k0,那么在这期间人口数()

A呈上升趋势 B呈下降趋势

C先上升后下降 D先下降后上升

3已知(a2+a+2)x(a2+a+2)1x,则x的取值范围是?

4已知函数f(x)=ax1(x≥0)的图像经过点(2,12),其中a0且a

(1)求a的值;

(2)求函数y=f(x)的值域

(2024年·福建卷)已知函数f(x)=2x,x0,x+1,x≤0,若

A3 B1 C1

考题变式(我来改编):

?

?答案

第4课时指数函数的图像与性质的应用

知识体系梳理

问题1:y轴(x,y)(x,y)

问题3:复合函数同增异减

问题4:(1)R(2)f(x)(3)单调性

基础学习交流

1D由题意知,0a11,解得1a2

2B由x-1≥0且y=(13)x是减函数,知0y=(13)x

3(∞,0)可结合指数函数的图像,也可利用指数函数y=(12)x的单调性解决画出指数函数y=(12)x的图像,可以看出,当x0时,函数值(12)x1或利用其单调性求解,由于(12)x1=(12)0,而y=(1

4解:∵f(x)=f(x),∴e-(x+u)2=e-(x-u)2,∴(x+u)2=(xu)2,u=0,故f(x)=e-x2∵x2≥0,x

重点难点探究

探究一:【解析】①y=2x1的图像可由y=2x的图像向右平移一个单位得到如图②y=2x1的图像可由y=2x的图像向下平移一个单位得到如图

【小结】(1)函数y=