2024年高二数学学业水平测试训练（100）.doc

数学水平测试训练（100）

1已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点，其纵坐标为，

（I）求抛物线的方程；

（II）设为抛物线上不同于的两点，且，过两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为，求的最小值

2已知函数

（I）求函数的最大值；

（Ⅱ）设证明有最大值，且2＜t＜1

3已知

（1）若求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围

4如图所示,为圆的切线,为点,，的角平分线与和圆分别交于点和

（I）求证

（II）求的值

5坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为OP，与直线的交点为Q，求线段PQ的长

6已知关于x的不等式的解集不是空集

（=1\*ROMANI）求参数m的取值范围的集合M；

（=2\*ROMANII）设a,bQUOTEM,求证：a+bab+1

答案

1【解析】

（1）由抛物线定义得：，，

抛物线方程为，

（2）设且

即，

又处的切线的斜率为

处的切线方程为和

由得

设，由得

【点评】高考对圆锥曲线这部分主要考查直线与椭圆直线与抛物线的综合应用能力，本小题涉及到直线与抛物线的相关知识本小题对考生的化归与转化思想运算求解能力都有较高要求，但难度适中，计算量不大，符合作为文科压轴题的特点

2【解析】

（Ⅰ）f?(x)＝xex

当x∈(∞，0)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减

所以f(x)的最大值为f(0)＝0

（Ⅱ）g(x)＝eq\f((1x)ex1,x)，g?(x)＝eq\f((x2x＋1)ex＋1,x2)

设h(x)＝(x2x＋1)ex＋1，则h?(x)＝x(x＋1)ex

当x∈(∞，1)时，h?(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(1，0)时，h?(x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，h?(x)＜0，h(x)单调递减

又h(2)＝1eq\f(7,e2)＞0，h(1)＝1eq\f(3,e)＜0，h(0)＝0，

所以h(x)在(2，1)有一零点t

当x∈(∞，t)时，g?(x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(t，0)时，g?(x)＜0，g(x)单调递减

由（Ⅰ）知，当x∈(∞，0)时，g(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0

因此g(x)有最大值g(t)，且2＜t＜1

3【解析】

（1）

由得或，

①当时，由，得

由，得或

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和

②当时，由，得

由，得或，

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和

综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和

当时，的单调递减区间为单调递增区间为和（2）依题意，不等式恒成立,等价于

在上恒成立，

可得在上恒成立，

设,则，

令，得（舍）当时，；当时，

当变化时，变化情况如下表：

+

单调递增

2

单调递减

∴当时,取得最大值,=2，

∴的取值范围是

【点评】导数题似乎已经被默认高考解答题的最后一题（当然个别省份不是），一般以三次多项式函数指数函数或对数函数为背景，考查导数在研究函数性质研究不等式和方程问题中的综合运用，考查点极为全面，上述两题就有这样的特点，同时作为文科题，考查的深度应该不如理科，运算量也不能太大。

4【解析】

（1）∵为圆的切线,又为公共角,

……4分

（2）∵为圆的切线,是过点的割线,

又∵

又由（1）知,

连接,则

，则，

∴10分

【点评】本小题主要考查平面几何的证明，图形背景新颖，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容，重点考查考生对平面几何推理能力

5【解析】

【点评】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的互化直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容同时，

6【解析】

（Ⅰ）设函数，则，画出其图象，

可知，要使不