专题03 勾股定理的证明 带解析.docx

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷

专题03勾股定理的证明

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2022春?交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）

A． B．

C． D．

解：A．根据图形可知：

＝2ab+b2﹣2ab+a2

＝a2+b2，

∵，

∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；

B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；

C．根据图形可知：S大正方形＝4×ab+c2＝2ab+c2，

S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，

∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，

∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；

D．根据图形可知：S大正方形＝c2，

S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，

∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，

故选：B．

2．（2分）（2022春?南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）

A． B． C． D．

解：如图，连接DG，

∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，

∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，

∵DI＝2，CI＝1，

∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，

∵大正方形ABCD的面积为S2，

∴S2＝CD2＝32＝9，

又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，

∴S1＝，

∴EF＝FG＝GH＝HE＝，

∵将EG延长交CD于点I，

∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，

设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，

在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，

解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），

即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，

∴DH＝EH＝，

∴CH垂直平分ED，

∴DG＝EG＝，

∴∠DGH＝∠HGE＝45°，

∴∠DGE＝45°+45°＝90°，

∴∠DGI＝90°，

在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，

故选：A．

3．（2分）（2022春?顺平县期末）意大利著名画家达?芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（）

A．S1＝a2+b2+2ab B．S2＝c2+ab

C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2

解：由勾股定理得：a2+b2＝c2，

由题意得：S1＝S2＝a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab＝c2+ab，

故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，

故选：A．

4．（2分）（2022春?宁津县期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（）

A．60 B．100 C．110 D．121

解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：

则四边形AOLP是矩形，

∴∠BOF＝∠BAC＝90°，

∵四边形BCGF是正方形，

∴BC＝BF，∠CBF＝90°，

∴∠ABC+∠OBF＝90°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠OBF＝∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC＝OB，

同理：△ACB≌△PGC（AAS），

∴PC＝AB，

∴AB+OB＝PC+AC，

即OA＝AP，

∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，

∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，

∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，

故选：C．

5．（2分）（2022春?博兴县期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，且（a+b）2＝11，小正方形的面积为3，则大正方形的边长为（）

A．10 B．7 C． D．

解：设大正方形的边长为c，

则c2＝a2+b2，

∵（a+b）2＝11，

∴a2+2ab+b2＝11①