2024年高考数学题根选载 评 看一个题根.doc

高中数学题根选载1评十年高考看一个题根

——从“阿波罗尼斯圆”说起

几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上。感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：

题成海，题成河，说到题根并不多。教材深处留心找，找到题根书变薄。

考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。

上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。那么，到底什么是题根？

一题根案例

【根题】（人教A版必修2，p124，B组，3题。）已知点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程

【解析】如图1，设动点，连结MO,MA,有：

，化简得：，也就是：

方程（1）即为所求点M的轨迹方程，它表示以C（1，0）为圆心，2为半径的圆。

评注：1根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以“长”出许多好题。

2阿波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。

二理论基础

将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点到定点的距离之比为定值λ（c，λ为正数），求点的轨迹方程（本题实为2024年北京春季高考题）

【解析】依题意，由距离公式：，化简得：

【讨论】方程的图形是什么？

=1\*GB3①当λ=1时，得x=0,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；

②当λ≠1时，方程（1）变形得：，化成标准形式：

，这是以为圆心，且半径

的圆。（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）。

【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：

1同一个方程，根据参数的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；

2当λ≠1时，不妨设c=1,可得：

注意到：，可得：，

说明这3数之间存在勾股关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；

3在方程（1）中，如圆心在y轴右边，如令，代入（1）得：

方程（3）与具有类似的形式，只不过由于，圆心在y轴左边。这两个方程表示的图形关于y轴对称。例如分别取时，分别代入方程（2）与（3），得：

和，它们的图形关于y轴（阿波罗直线）对称。

所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；

4对于方程（1），只要λ≠1，它都表示圆，当λ无限接近于1乃至等于1时，其图形最终成为直线，

这又是曲线由量变到质变的运动美。

三考场精彩

【题1】（2024江苏卷，17题（2））如图2，在平面直角坐标系中，点，直线设圆C的半径为1，圆心在上若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。

【解析】点C在直线上，故设

∵半径，∴圆C的方程是：

满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，由

，

这里圆心为D（0，1）,半径

两圆有公共点的条件是：即，解得

评注：图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当时，

圆C为与所求圆D相切；当时，圆C为,也与所求圆D相切。这样，答案的正确性也就不言而喻了

【题2】[2024·苏南三校联考,15题]已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C

只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程

【解析】（1）设点P的坐标为(x，y)，则eq\r((x＋3)2＋y2)＝2eq\r((x3)2＋y2)，化简可得(x5)2＋y2＝16即为所求

(2)如图3，曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则△CQM必为直角三角形，

|QM|＝eq\r(|CQ|2|CM|2)＝eq\r(|CQ|216)，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值

由点线距离公式得：，此时|QM|的最小值为eq\r(3216)＝4，

此时△CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，即l2的方程是x＝1或y＝4

评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有,代入公式

，立即得到：(x5)2＋y2＝16

【题3】（2024江苏卷，13题）满足条件的△ABC的面积的最大值是

【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，因为有，代入阿波罗圆公式得：。设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,