2024版高中数学 45空间直角坐标系练习新人教A版必修2.doc

45空间直角坐标系练习

1点P(2,3,1)关于坐标原点的对称点是()

A(2,3,1)B(2,3,1)

C(2,3,1) D(2,3,1)

【解析】点P(2,3,1)关于坐标原点的对称点是(2,3,1)故选B

【答案】B

2设点A(3,2,1),点B(1,0,5),点C(0,2,1),若AB的中点为M,则|CM|等于()

A3 B

C2 D3

【解析】因为AB中点M的坐标为(2,1,3),所以|CM|==3,故选A

【答案】A

3在Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x=?

【解析】由题意可知|AB|2+|AC|2=|BC|2,

即(12)2+2+(21)2+(x2)2+(01)2+2=(x1)2+(01)2+(12)2?x=2

【答案】2

4(1)求证:以A(,1,2),B(2,4,),C(,4,2)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形

(2)已知三点A(1,,2)B(,,1)C(3,2,6)

求证:A,B,C三点在同一条直线上

【解析】(1)由两点间距离公式得

|AB|=3,|BC|=3,|AC|=3,

∴|AC|=|BC|且|AC|2+|BC|2=|AB|2,

∴△ABC是等腰直角三角形

(2)由两点间距离公式得|AB|=,|BC|=,|AC|=,∴|AB|+|AC|=|BC|,即A,B,C三点在同一条直线上

5在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述:

①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,y,z);

②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,y,z);

③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,y,z);

④点P关于原点对称的点的坐标是P4(x,y,z)

其中正确叙述的个数是()

A3B2C1D0

【解析】由空间对称知:①②③错,④正确

【答案】C

6点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1,点P关于平面xOz的对称点为P2,则|P1P2|等于()

A2 B2

C2 D2

【解析】由题意得P1(1,2,3),P2(1,2,3),

∴|P1P2|==2,

故选D

【答案】D

7已知空间点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则点A到平面yOz的距离是?

【解析】∵|AB|=2,

∴(x2)2+(13)2+(24)2=24,即(x2)2=16,

∴x=2或x=6,

∴点A到平面yOz的距离为2或6

【答案】2或6

8在四面体PABC中,PAPBPC两两垂直,设|PA|=|PB|=|PC|=a,求点P到平面ABC的距离

【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,

则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)

过P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离

∵|PA|=|PB|=|PC|,∴H为△ABC的外心

又∵△ABC为正三角形,

∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为(,,),

∴|PH|==a,

∴点P到平面ABC的距离为a

9已知点A(3,0,1)和点B(1,0,3),且M为y轴上一点若△MAB为等边三角形,则M点坐标为?

【解析】设点M的坐标为(0,y,0)

∵△MAB为等边三角形,

∴|MA|=|MB|=|AB|,

∵|MA|=|MB|==,

|AB|==,

∴=,解得y=±,

故M点坐标为(0,,0)或(0,,0)

【答案】(0,±,0)

10如图,以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上

(1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值

(2)当点P在对角线AB上运动,点Q为棱CD的中点时,探究|PQ|的最小值

(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值

【解析】由已知A(a,a,0),C(0,a,0),D(0,a,a),B(0,0,a),

(1)当点P为对角线AB的中点时,

点P坐标为(,,),

设Q(0,a,z),则|PQ|=,

当z=时,|PQ|取最小值a,此时Q为CD的中点

(2)当点Q为棱CD的中点时,点Q的坐标为(0,a,),

设AP∶AB=k,则xP=a(1k),yP=a(1k),zP=ak,

所以P点的坐标为(a(1k),a(1k),ak),

所以|PQ|=,

当k=,即P为AB的中点时,|PQ|取最小值a

(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,

设AP∶AB=k,则设P(a(1k),a(1k),ak),Q(0,a,z),

所以|PQ|=,

所以当k=,且z=ak=,

即当PQ分别为ABC