2024高中数学 21合情推理与演绎推理要点讲解 新人教A版选修22 .doc

合情推理与演绎推理要点讲解

一合情推理之归纳推理与类比推理异同比较

合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用有利于创新意识的培养在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手合情推理包括归纳推理和类比推理

归纳推理和类比推理的联系:

归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察分析比较联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明

归纳推理和类比推理的区别:

(一)归纳推理

1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体由个别到一般的推理

说明：归纳推理的思维过程大致如下：

2归纳推理的特点:

（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围

(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题

归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法

3归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同本质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题

说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果物理学中的波义耳—马略特定律化学中的门捷列夫元素周期表天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的

(二)类比推理（以下简称类比）

1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理

2类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式类比推理不象归纳推理那样限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具

例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an=

【答案】an=3n23n+1

【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=2+3+2;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此an=n+(n+1)+…+(2n1)+…+(n+1)+n=3n23n+1

【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一

例2如图，过四面体VABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点求证：++为定值

分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BCAC于A1B1，求证+为定值”这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1另外，过AO分别作BC垂线，过BO分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1

证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV得

++=++

在底面△ABC中，由于AMBNCL交于一点O，用面积法易证得：

++=1∴++=1

【知识小结】类比推