选修2-2——定积分的简单应用.docVIP

1．7定积分的简单应用

1．问题导航

(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？

(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？

(3)变速直线运动的路程如何用定积分表示？

(4)求变力F做了多少功，需要知道哪些条件？如何用定积分表示变力做功？

2．例题导读

(1)通过P56例1，P57例2，学会求两曲线(含一条是直线)围成图形的面积的具体步骤和方法．

(2)通过P58例3，P59例4，学会利用定积分求变速直线运动的路程，变力做功等物理问题的具体步骤和方法．

1．两曲线y＝f(x)，y＝g(x)与x＝a，x＝b所围成图形的面积

一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx．

2．变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt．

3．变力做功

如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx.()

(2)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,)〔4－x2〕dx).()

(3)一个物体在2≤t≤4时，运动速度为v(t)＝t2－4t，那么它在这段时间内行驶的路程为eq\i\in(2,4,)(t2－4t)dt.()

(4)一物体在力F(x)作用下沿与F(x)相同的方向从x＝0运动到x＝10，那么该力对物体做的功为W＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,10,)F〔x〕dx).

答案：(1)√(2)√(3)×(4)√

2．物体以速度v(t)＝2t－1做直线运动，那么它在t＝1到t＝3这段时间的位移为()

A．6 B．5

C．－6 D．－5

答案：A

3．直线x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,2)，y＝1与曲线y＝sinx围成的平面图形的面积为()

A.eq\f(π,2) B．π

C.eq\f(3,2)π D．2π

解析：选B.根据条件画出大致图形如阴影局部所示，

那么所求的面积为S＝∫eq\s\up6(\f(π,2))－eq\f(π,2)(1－sinx)dx

＝(x＋cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,2)),－\f(π,2)))＝π.

1．两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(ab)所围成的平面图形的面积

(1)假设f(x)g(x)，曲线f(x)，g(x)，直线x＝a，x＝b围成的面积S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.

(2)假设f(x)0，g(x)0，面积S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)|g(x)|dx.

2．对于不规那么平面图形面积的处理原那么

定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于不规那么的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规那么的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．

3．变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系

如果做变速直线运动物体的速度—时间函数为v＝v(t)，那么物体在区间[a，b]上的位移为定积分eq\i\in(a,b,)v(t)dt；物体在区间[a，b]上的路程为eq\i\in(a,b,)|v(t)|dt.

4．确立变力做功的策略

首先要确定变力与位移的函数式F(x)，其次是确定变力作用下物体产生的位移，求积分区间上的定积分W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx即可．

定积分在几何中的应用

(1)(2015·太原高二检测)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝eq\f(π,2)所围成的平面图形(图中的阴影局部)的面积是________．

[解析]∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝sinx，,y＝cosx，))x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

∴两曲线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\