高考数学理全国通用版： 十七 2.12定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 含解析.docVIP

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课时分层作业十七

定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.(x2+x3-30)dx= ()

A.56B.28C.D.14

【解析】选C.(x2+x3-30)dx

=

=(43-23)+(44-24)-30(4-2)=.

【变式备选】下列积分的值等于1的是 ()

A.xdx B.(x+1)dx

C.dx D.dx

【解析】选C.dx=x=1.

2.设函数f(x)=则定积分f(x)dx等于 ()

A. B.2 C. D.

【解析】选C.f(x)dx=x2dx+dx

=x3+x=.

3.(2018·厦门模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于 ()

A. B. C. D.

【解析】选A.f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,

所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,

所以f(-x)dx=(x2-x)dx==.

4.(2018·新余模拟)已知(x2+mx)dx=0,则实数m的值为 ()

A.- B.- C.-1 D.-2

【解析】选B.根据题意有(x2+mx)dx=(x3+mx2)=+m=0,解得m=-.

5.(2018·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值是 ()

A. B. C. D.

【解题指南】先运用定积分求出阴影部分的面积,再利用几何概型概率计算公式及三角函数求出a.

【解析】选B.由已知S矩形OABC=a×=6,

而阴影部分的面积为S=sinxdx=(-cosx)

=1-cosa,

依题意有=,即=,

得:cosa=-,又a∈(0,π),所以a=π.

6.一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v(t)=5-t+(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是 ()

A.55ln10m B.55ln

C.(12+55ln7)m D.(12+55ln6)m

【解析】选B.令5-t+=0,注意到t0,得t=10,即经过的时间为10s;行驶的距离

s=dt=[5t-t2+55ln(t+1)]=55ln11,即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m.

7.(2018·南昌模拟)若a=x2dx,b=x3dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系是 ()

A.acb B.abc

C.cba D.cab

【解析】选D.因为a=x2dx=x3=∈(2,3),b=x3dx=x4=43,c

=sinxdx

=(-cosx)=1-cos22,所以cab.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.(2018·昆明模拟)dx=________.

【解析】dx=dx

==+ln.

答案:+ln

9.(2018·武汉模拟)一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为________J.

【解析】F(x)cos30°dx=(5-x2)dx

==,

所以F(x)做的功为J.

答案:

10.已知曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为,则k=________.

【解析】由得或

则曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kx-x2)dx==-k3=,即k3=8,所以k=2.

答案:2

1.(5分)(2018·珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ()

A. B. C. D.

【解析】选A.由得x=t.

故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx

=+

=t3-t2+,

令S′=4t2-2t=0,因为0t1,所以t=,

易知当t=时,Smin=.

2.(5分)(2018·成都模拟)函数y=(sint+costsint)dt的最大值是________.

【解析】y=(sint+costsint)dt=

dt

=

=-cosx-cos2x+

=-cosx-(2cos2x-1)+

=-cos2x-cosx+

=-(cosx+1)2+2≤2,当cosx=-1时取等号.

答案:2

3.