2024年平面向量知识点归纳.doc

平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表达，注意不能說向量就是有向线段，為何？（向量可以平移）。如：

2．零向量：長度為0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

3．單位向量：長度為一种單位長度的向量叫做單位向量(与共线的單位向量是)；

4．相等向量：長度相等且方向相似的两個向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相似或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两個向量平行与与两条直线平行是不一样的两個概念：两個向量平行包括两個向量共线,但两条直线平行不包括两条直线重叠；

③平行向量無传递性！（由于有)；

④三點共线共线；

6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

下列命題：（1）若，则。（2）两個向量相等的充要条件是它們的起點相似，终點相似。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中對的的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表达措施：

1．几何表达法：用带箭頭的有向线段表达，如，注意起點在前，终點在後；

2．符号表达法：用一种小写的英文字母来表达，如，，等；

3．坐標表达法：在平面内建立直角坐標系，以与轴、轴方向相似的两個單位向量，為基底，则平面内的任历来量可表达為，称為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表达。假如向量的起點在原點，那么向量的坐標与向量的终點坐標相似。

三．平面向量的基本定理：假如e1和e2是同一平面内的两個不共线向量，那么對该平面内的任历来量a，有且只有一對实数、，使a=e1＋e2。如

（1）若，则______（答：）；

（2）下列向量组中，能作為平面内所有向量基底的是

A.B.

C.D.

（答：B）；

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表达為_____（答：）；

（4）已知中，點在边上，且，，则的值是___

（答：0）

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一种向量，记作，它的長度和方向规定如下：當0時，的方向与的方向相似，當0時，的方向与的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两個向量的夹角：對于非零向量，，作，

称為向量，的夹角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。

2．平面向量的数量积：假如两個非零向量，，它們的夹角為，我們把数量叫做与的数量积（或内积或點积），记作：，即＝。规定：零向量与任历来量的数量积是0，注意数量积是一种实数，不再是一种向量。如

（1）已知，与的夹角為，则等于____

（答：1）；

（2）已知，则等于____

（答：）；

（3）已知是两個非零向量，且，则的夹角為____

（答：）

3．在上的投影為，它是一种实数，但不一定不小于0。如

已知，，且，则向量在向量上的投影為______（答：）

4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两個非零向量，，其夹角為，则：

①；

②當，同向時，＝，尤其地，；當与反向時，＝－；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如

（1）已知，，假如与的夹角為锐角，则的取值范围是______

（答：或且）；

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：运用“平行四边形法则”進行，但“平行四边形法则”只合用于不共线的向量，如此之外，向量加法還可运用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；

②向量的減法：用“三角形法则”：设，由減向量的终點指向被減向量的终點。注意：此处減向量与被減向量的起點相似。如

（1）化简：①___；②____；③_____

（答：①；②；③）；

（2）若正方形的边長為1，，则＝_____

（答：）；

2．坐標运算：设，则：

①向量的加減法运算：，。如

（1）已知點，，若，则當＝____時，點P在第一、三象限的角平分线上

（答：）；

（2）已知作用在點的三個力，则合力的终點坐標是

（答：（9,1））

②实数与向量的积：。

③若，则，即一种向量的坐標等于表达這個向量的有向线段的终點坐標減去起點坐標。如

设，且，，则C、D的坐標分别是__________

（答：）；

④平面向量数量积：。如

已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）,若x＝，求向量、的夹角；

⑤向量的模：。如

已知均為單位向量，它們的夹角為，那么＝_____（答：）；

⑥两點间的距离：若，则。

七．向量的运算律：

1．互换律：，，；

2．結合律：，；

3．分派律：，。

如

下列命題中：①；②；③

；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。