高考数学理全国通用版： 二十八 4.3平面向量的数量积及应用举例 含解析.docVIP

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课时分层作业二十八

平面向量的数量积及应用举例

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a-b)⊥b,则m= ()

A.-8 B.-5 C.5 D.8

【解析】选B.由(a-b)⊥b知:(a-b)·b=0,

所以a·b-b2=0,即3-2m-13=0,

所以m=-5.

2.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|= ()

A. B.2 C.4 D.12

【解析】选B.由题得,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12.所以|a+2b|=2.

3.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|= ()

A. B. C.2 D.

【解析】选A.|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,则|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+5-0=6,所以|a-b|=.

4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ= ()

A. B.

C. D.

【解析】选A.因为·=-,

所以-=·

=·

=--λ+·

=-4-4λ+2=-2λ2+2λ-2,

解得λ=.

【一题多解】

选A.如图建立平面直角坐标系,

设A(-1,0),B(1,0),

C(0,),另设P(x1,0),

Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,

由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),

于是=(-λ-1,(1-λ)),

=(2λ-1,-),

由·=-得:

(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)

=-,解得λ=.

【变式备选】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=,则·的值为________.

【解析】在等腰梯形ABCD中,

由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,

得·=,·=1,·=-1,

=,

所以·=·

=·

=·+·++·

=1++-=.

答案:

5.(2018·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 ()

A.|b|=1 B.a⊥b

C.a·b=1 D.(4a+b)⊥

【解析】选D.因为=-=(2a+b)-2a=b,

所以|b|=2,故A错误;

由于·=2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=4+2×1×2×=2,

所以2a·b=2-4|a|2

所以a·b=-1,故B,C错误;

又因为(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|

所以(4a+b)⊥.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.

【解析】|a|=|a+2b|,两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·

=|a|2+4|b|2+4|a||b|·cosθ.

又考虑到|a|=3|b|,

所以0=4|b|2+12|b|2cosθ,得cosθ=-.

答案:-

7.(2018·济南模拟)已知A(-1,cosθ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角θ=________.

【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OA⊥OB.因此·=0,所以锐角θ=.

答案:

【一题多解】坐标法:+=(sinθ-1,cosθ+1),-=(-sinθ-1,cosθ-1),由|+|=|-|可得(sinθ-1)2+(cosθ+1)2=(-sinθ-1)2+(cosθ-1)2,整理得sinθ=cosθ,于是锐角θ=.

答案:

【变式备选】已知a=(1,1),b=(cosα,sinα).若a∥b,则α=________.

【解析】因为a∥b,所以cosα=sinα,则tanα=1,又因为0≤α,所以α=.

答案:

8.对任意平面向量a,b,下列关系式中恒成立的是________.(填序号)

①|a·b|≤|a||b|;

②|a-b|≤||a|-|b||;

③(a+b)2=a2+b2+2a·b

④(a+b)·(a-b)=a2-b2.

【解析】对于①,|a·b|=||a||b|cosθ|≤|a||b|(θ为a,b的夹角)恒成立;对于②,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于③,④容易判断恒成立.

答案:①③