高考数学理全国通用版： 二十七 4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算 含解析.docVIP

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课时分层作业二十七

平面向量的基本定理及向量坐标运算

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),则 ()

A.c=a+2b B.c=a-2b

C.c=2b-a D.c=2a-

【解析】选B.设c=xa+yb,

所以(7,-4)=(3x-2y,-2x+y),

所以得所以c=a-2b.

2.在△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若=a,=b,=1,=2,则=

()

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

【解析】选B.因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得==,所以D为AB的三等分点,且==(-),所以=+=+=a+b.

3.(2018·青岛模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6.当m=-6时,a∥(a+b),则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充分必要条件.

【变式备选】已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数且(a+λb)∥c,则λ= ()

A. B. C.1 D.2

【解析】选B.因为a+λb=(1+λ,2),(a+λb)∥c,所以=,所以λ=.

4.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b= ()

A.(-2,-1) B.(-2,1)

C.(-1,0) D.(-1,2)

【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=-=-=.

5.(2018·南昌模拟)已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是 ()

A. B.

C. D.

【解析】选D.

因为=+,其中

=+,

设=λ,λ∈,

所以=+,

于是所以xy==-λ2+λ+=-+,

由λ∈知,xy∈.

6.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则等于 ()

A.- B. C.-2 D.2

【解析】选A.因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n),

因为ma+nb与a-2b共线,

所以4(3m+2n)-(-1)(2m-n)=0,所以=-.

7.已知向量a=(-1,2),b=(-x,1-y)且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是

()

A.9 B.8 C. D.

【解析】选B.因为a∥b,所以-2x=-1+y即2x+y=1(x0,y0),所以+=·(2x+y)=2+2++≥4+4=8,

当且仅当且x0,y0即x=且y=时“=”成立.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.若a与b不共线,已知下列各向量:

①a与-2b;②a+b与a-b;③a+b与a+2b;

④a-b与a-b.

其中可以作为基底的是________(填序号).

【解析】对于①,因为a与b不共线,所以a与-2b不共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则有a+b=λ(a-b),所以λ=1且λ=-1,矛盾.所以a+b与a-b不共线;对于③,同理a+b与a+2b也不共线;对于④,因为a-b=2,所以a-b与a-b共线.由基底的定义知,①②③都可以作为基底,④不可以.

答案:①②③

9.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=______.

【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),

则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).

因为c=λa+μb,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),

即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,

解得λ=-2,μ=-,所以=4.

答案:4

10.如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ=______.

【解析】根据题意,可得OA⊥OC,以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示:

则有C(1,0),A(0,1),

B(cos30°,-sin30°),

即B,于是=(1,0),=(0,1),=,

由=λ+μ,得:

(1,0)=λ(0,1)+μ,则

解得:所以λ+μ=.

答案:

【变式