高考数学理全国通用版： 二十四 3.6正弦定理和余弦定理 含解析.docVIP

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

课时分层作业二十四

正弦定理和余弦定理

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于 ()

A.B.C.2D.3

【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).

2.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则

△ABC的形状为 ()

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

【解析】选B.因为cos2=,cos2=,

所以(1+cosB)·c=a+c,所以a=cosB·c=,

所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,

所以△ABC为直角三角形.

3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是 ()

A.有一解

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

【解析】选C.因为=,所以sinB===1,故此三角形无解.

4.(2018·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ()

A.a=2b B.b=2a

C.A=2B D.B=2A

【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.

【解析】选A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=

sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC,即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC

为锐角三角形,所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.

5.(2018·长沙模拟)在△ABC中,A=,b2sinC=4sinB,则△ABC的面积为

()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.因为b2sinC=4sinB,所以b2c=4b,即bc=4,故S△ABC=

bcsinA=2.

【变式备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=3,S△ABC=2,则b的值为 ()

A.6 B.3 C.2 D.2或3

【解析】选D.因为S△ABC=2=bcsinA,

所以bc=6,又因为sinA=,所以cosA=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-

2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2018·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________.

【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0Bπ,所以B=.

答案:

7.(2018·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=,△ABC的面积为,则c=________,B=________.

【解析】因为A=,b=,△ABC的面积为=bcsinA=××c×,所以解得:c=1+,所以由余弦定理可得:a==2,可得:cosB==,又0Bπ,故B=.

答案:1+

8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B,则cosB的值为________.

【解析】因为A=2B,=,b=3,c=1,

所以=,可得a=6cosB,

由余弦定理可得:a=6×,所以a=2,

所以cosB==.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2018·成都模拟)已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A=cos2A,且角A为锐角.

(1)求三角形内角A的大小.

(2)若a=5,b=8,求c的值.

【解析】(1)由题意,sin2A=cos2A,即tan2A=.

所以2A=或者2A=,因为角A为锐角,所以A=.

(2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccosA=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0,

解得c=4+3或者4-3.

10.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别