高考数学理全国通用版： 二十五 3.7应 用 举 例 含解析.docVIP

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课时分层作业二十五

应用举例

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ()

A.北偏东10° B.北偏西10°

C.南偏东80° D.南偏西80°

【解析】选D.由题意可知∠ACD=40°,∠DCB=60°,CA=CB,所以∠CAB=∠CBA=40°,又因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,∠DBA=10°,故灯塔A在B的南偏西80°.

2.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为

()

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

【解析】选D.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.

3.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15km后,看见灯塔在正西方向,

A.5km

C.5km D.5km

【解析】选C.作出示意图(如图),点A为该船开始的位置,点B为灯塔的位置,点C为该船后来的位置,所以在△ABC中,有∠BAC=60°-30°=30°,B=120°,AC=15,

由正弦定理,得=,

即BC==5,即这时船与灯塔的距离是5km.

【变式备选】为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D之间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得∠BAC=30°,∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,A,B两点的距离为海里,则C,D之间的距离为

()

A.海里 B.2海里

C.海里 D.海里

【解析】选A.∠ADB=180°-30°-45°-45°=60°,

在△ABD中,由正弦定理,得BD=

=,

在△ABC中,∠ACB=180°-30°-45°-75°=30°,

所以BC=BA=,

在△BCD中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC

=3+-2×××=5,所以CD=.

4.(2018·深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,

世纪金榜导学A.m B.m

C.m D.m

【解析】选A.如图所示.

在Rt△ACD中可得CD==BE,

在△ABE中,由正弦定理得=?AB=,所以DE=BC=200-=(m).

5.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为 ()

A.0.5小时 B.1小时

C.1.5小时 D.2小时

【解析】选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30km,△ABD为等腰直角三角形且AB=40km,由勾股定理得AD=BD=20km,由BD⊥AD,可得ED=DF,在Rt△BED中,由勾股定理得ED==10km,所以EF=2ED=20km,因此B市处于危险区内的时间为20÷20=1(h).

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8nmile.此船的航速是______nmile/h.

【解析】设航速为vnmile/h,在△ABS中,

AB=v,BS=8nmile,∠BSA=45°,由正弦定理,得=,所以v=32.

答案:32

7.(2018·潍坊模拟)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米

【解析】在△BCD中,由正弦定理得,=,解得BC=10米,

所以在Rt△ABC中,tan60°=,解得AB=10米,

所以塔AB的高是10米

答案:10

8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则