（浙江版）高考数学复习： 专题8.7 立体几何中的向量方法（讲）.docVIP

PAGE

第07节立体几何中的向量方法

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

立体几何中的向量方法

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.

(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

2015?浙江文18；理17；

2016?浙江理17;

1.以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.

2.利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.

3.备考重点：

(1)掌握空间向量的坐标运算；

(2)掌握角与距离的计算方法.

【知识清单】

1.利用空间向量证明平行问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量，与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.

②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u.

④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1∥u2.

对点练习：

【选自2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

【答案】（Ⅰ）证明见解析

（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

2.利用空间向量证明垂直问题

1.用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.

②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u.

③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.

2.共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，

a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

对点练习：

【河南省信阳市期末】已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF=λAB(0

A.12B.23C.3

【答案】C

则F4λ,0,0,DE=4,-4,2,DF=4λ,-4,0,CE=0,-4,2,EP=-4,0,2，设平面DEF

因为平面DEF⊥平面PCE，所以m·n

3.异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．

②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．

③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.

对点练习：

【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】如图所示，补成四棱柱,

4.直线与平面所成角

1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).

对点练习：

【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKI