高考数学理全国通用版： 三十一 5.2等差数列及其前n项和 含解析.docVIP

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课时分层作业三十一

等差数列及其前n项和

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列 ()

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为3的等差数列

C.是公差为5的等差数列

D.不是等差数列

【解析】选A.由题意可得,an=2n+5=7+2(n-1),即此数列是公差为2的等差数列.

2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于()

A.31 B.32 C.33

【解析】选B.由已知可得解得所以S8=8a1+

d=32.

【变式备选】若等差数列{an}的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于 ()

A.0 B.12 C.-1

【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得

4a1+d=18a1+d,a1=-d,

所以S22=22a1+d=22×+22×d=0.

3.(2018·锦州模拟)已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=4π,则cosa5的值为

()

A.- B.- C. D.

【解析】选A.因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=4π,所以3a5=4π,解得a5=.所以cosa5=cos=-.

4.(2018·武汉模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为

()

A.8 B.9 C.10

【解析】选B.该数列为等差数列,且S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9.

5.(2018·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()

A.100 B.99 C.98

【解析】选C.由题意可知,

解得a1=-1,d=1,

所以a100=-1+99×1=98.

【一题多解】选C.由等差数列性质可知:

S9===9a5=27,故a5=3,

而a10=8,因此公差d==1,

所以a100=a10+90d=98.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为________.

【解析】因为{an},{bn}为等差数列,

所以+=+==,

因为====.

所以=.

答案:

7.(2018·银川模拟)在等差数列{an}中,已知a3=7,a6=16,依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵,则此数阵中,第10行从左到右的第5个数是________.

【解析】由题知公差d===3,所以an=7+(n-3)d=3n-2,第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1+2+…+9+5=50项,即为a50=3×50-2=148.

答案:148

8.(2018·郑州模拟)在等差数列{an}中,a1=-2018,其前n项的和为Sn,若-

=2,则S2018=________.

【解析】因为=a1+(n-1)d,所以数列也成等差数列,由-=2得公差为1,因此

=+(2018-1)×1=-1,

则S2018=-2018.

答案:-2018

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.

(1)求a及k的值.

(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.

【解析】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.

由Sk=110,得k2+k-110=0,

解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.

(2)由(1)得Sn==n(n+1),

则bn==n+1,

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,

即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

所以Tn==.

10.(2018·太原模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a10,S2015=0.

(1)求Sn的最小值及此时n的值.

(2)求n的取值集合,使其满足an≥Sn.

【解析】(1)设公差为d,则由S2015=0?2015a1+d=0?a1+1007d=0,

d=-a1,a1+an=a1,

所以Sn=(a1+an)=·a1

=(2015n-n2).

因为a10,n∈N*,

所以当n=1