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第三章导数与微分
第三章导数与微分在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．第一节导数的概念第二节导数的运算法则第三节函数的微分第四节MATLAB数学实验（三）
微分的概念引例3.5一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由变到，如图所示，问此薄片的面积改变了多少？分析设此薄片的边长为，面积为，则，薄片受到温度变化的影响，面积的增量是自变量在处取得增量时，函数相应的增量，即
从上式看出，分成两部分：一部分是，它是的线性函数，即图中两个小矩形的面积之和；另一部分是的高阶无穷小量.从而当时，可以用第一部分作为的近似值，即.这种做法实际上包含了一个重要思想——线性化，这是因为线性函数是最简单的函数，同时我们还注意到第一部分中的系数恰好是面积在点处的导数值，，数学上，把的第一部分：的线性函数称为面积的微分，记为，即微分的概念
定义3.4由上述定义可知，即，称为自变量的微分，即自变量的微分等于自变量的增量，于是在点的微分可写成微分的概念设函数在点可导，则称为函数在点的微分，记为或者，即或
例3.20设，求函数的增量与微分.解：而，即有，则比较与知，较小.习题讲解
解体积的增量为显然有例3.21半径为的球，其体积为，当半径增大时，求体积的增量与微分.习题讲解
微分的运算法则1.基本微分公式由关系式可知，只要知道函数的导数，就能立刻写出它的微分.因此，由基本导数公式容易得出相应的基本微分公式.
（1）（为常数）;（2）（3）（5）（7）基本微分公式（4）（6）（8）
（9）（10）（11）（13）（15）基本微分公式（12）（14）（16）
2.微分四则运算法则：（1）（2）（为常数）；（3）微分的运算法则
3.一阶微分形式不变性:设函数，当是自变量时，函数的微分为.当不是自变量，而是的可导函数.由复合函数的求导法则得即是中间变量，则构成复合函数.微分的运算法则
微分的运算法则3.一阶微分形式不变性：可见，无论是自变量还是中间变量，的微分形式总可以写为这一性质称为一阶微分形式的不变性.所以
解：例3.22设，求习题讲解
求函数的微分.例3.23解法一：利用微分的定义，解法二：利用一阶微分形式的不变性，有所以习题讲解
解由微分的四则运算法则及微分形式不变性，求方程
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