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拓扑学测试题一

一、选择题（每小题2分，共10分）

下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（）

A.列紧B.序列紧C.可数紧D.紧致

下列拓扑性质中，没有遗传性的是（）

TTTT

A.1空间B.2空间C.3空间D.4空间

下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（）

TTTT

A.1空间B.2空间C.3空间D.4空间



设X多于两点，1,2是X的两个拓扑，则下列命题不成立的是（）



(A)12是X的某个拓扑的基;



(B)12是X的一个拓扑;



(C)12是X的一个拓扑;



(D)12是X的某个拓扑的基。

(X,d)

设A为度量空间的任一非空子集,则下列命题不成立的是（）

xd(x,A)d(x,XA)0

(A)为A的边界点当且仅当

xd(x,A)0

(B)为A的聚点当且仅当

xd(x,XA)0

(C)为A的内点当且仅当;

xAd(x,A)0

(D)当且仅当.

二、二、判断题（每小题5分，共25分）

三、仿紧空间是度量空间.（）

四、商映射一定是闭映射或开映射.（）

五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间.（）

六、连通空间一定是局部连通空间.（）

111

七、若f:S连续，则t1，使f(t)不可数.（）

八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）

九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.



十、设X0,1,2，试写出X上的所有拓扑.

十一、四、证明题（每小题10分，共40分）

T

十二、若X满足1公理，则X中任一子集的导集都是闭集.

十三、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.

十四、证明至少有两个点的T空间的连通子集一定是不可数集.

4

十五、证明X为Hausdorff空间当且仅当{(x,x)|xX}是XX的闭集.

答案

1

一、选择题1、A2、D3、D4、C5、B

二、是非题1、ⅹ2、ⅹ3、√4、ⅹ5、√

三、解答题1.举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.









X0,1,0,X01

解例如，，.



X0,1,2

X

2.设，试写出上的所有拓扑.

解2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}},3个开集的共有6个：