高等数学（第五版）课件 6.3.1定积分的换元积分法.pptx

定积分的换元积分法和分部积分法

定积分的换元积分法

定积分的换元积分法例题1解法一：先利用不定积分的换元积分法求出原函数，再用微积分基本公式来计算定积分。设，则，，于是：求因此

定积分的换元积分法解法二：设，则，。当从0连续地增加到4时，相应地从0增加到2；即当时，；时，，于是：例题2求

定积分的换元积分法两种方法得到同样的结果，并且第二种比第一种简便。因为积分变量换成的同时，积分上下限也随着一起变了，在完成关于变量的积分后，直接用的上下限代入计算定积分的值，因而省掉了第一种方法中的变量回代这一步。将方法二推广即可得到定积分的换元积分法。

定积分的换元积分法设函数在上连续，作变换，它满足以下条件：定理（1）在区间上具有连续的导数；（2），；（3）当时，；则:

习题讲解解：设，即，，当时，，当时，，于是：求例题3

习题讲解例题4解：令，则，当时，；当时，．计算故

习题讲解例题5设函数在对称区间上连续，试证明：（1）若是奇函数，则（2）若是偶函数，则解法一：由定积分的几何意义，此结论是显然的，如图所示

习题讲解解法二：证明：因为令，则当时，；当时，，（1）如果是奇函数，，则因此。（2）若是偶函数，，则．

定积分的换元积分法例5的结论，常可以简化奇函数、偶函数在对称区间的定积分。如计算定积分时，由于被积函数是奇函数，所以其值为0。

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