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用定积分求旋转体的体积
用定积分求旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而形成的立体图形。这条直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而形成的立体图形，所以它们都是旋转体。
用定积分求旋转体的体积选为积分变量，则，对区间进行划分，任取一个小区间，过该区间的两个端点作垂直于轴的截面，设截得薄片的体积为，当很小时，于是得旋转体的体积微元为，积分得旋转体的体积为：下面求由连续曲线，直线(且)，与轴所围成的平面图形，绕轴旋转一周所形成的立体的体积，如图所示。
用定积分求旋转体的体积若旋转体是由曲线，，直线，及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而生成，如图所示，同样地，我们可以得到该旋转体的体积为：
习题讲解例1求椭圆所围成的图形绕轴和轴旋转一周所成旋转体（旋转椭球体）的体积。解：绕轴旋转生成的椭球体可以看作是由半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转一周而生成，由于体积微元为：所以x+dxxyOxab
习题讲解例1求椭圆所围成的的图形绕轴和轴旋转一周所成旋转体（旋转椭球体）的体积。绕轴旋转时，由于体积微元为所以当时，旋转椭球体就成为半径的球体，它的体积为。
习题讲解案例【喇叭体积】一个喇叭可以近似地看作由曲线，直线以及轴所围成的图形绕轴旋转所成的旋转体，如图所示，求此旋转体的体积。解：在上任取一点，此旋转体的体积微元可近似地看成一个圆柱体，其中底是以为半径的圆，高是，所以体积微元为所求旋转体的体积为：
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