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《阅读与思考：黄金分割数》教案

教学目标

教学目标：1.了解黄金分割数的意义.

2.了解黄金分割数的应用.

教学重点：了解黄金分割数的意义.

教学难点：了解黄金分割数的意义.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

1分钟

活动1

问题引入

同学们好，下面这些图片中，有建筑物，有植物，有画像也有雕塑，它们都给人一种美和和谐的感受，你知道其中的奥秘吗？原来它们都和一个神秘的数字有关系，这节课老师就和你们一起来探索吧！

10分钟

活动2

概念探索

在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题，要使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？

首先，我们将条件标注在图上：

A

A

C

C

B

B

我们将雕像抽象为线段，肚脐的位置标志为点C，这个问题就转化为了纯数学符号的描述形式，我们把实际图形去掉，得到：

根据题目条件，C把AB分为AC和BC两段，其中AC是较小的一段，现要使.接下来要引入未知量将这个等式转化为方程来求解，由于我们要计算的是比值，简单起见，我们可以设AB=1,CB=x,则，代入，得到,整理得.

解方程，得.根据问题的实际意义，取，这个值就是问题中所求的高度比.

有同学也许会问，把线段的长度设为1是不是太特殊了，是不是失去了一般性呢？

那我们不妨试试看，如果我们设线段AB=a，CB=x,则AC=a?x，这样代入得到

结合实际意义，解得，同样可以得到高度比为我们也可以从中发现，当所求为比值时，设总量为单位1能够将问题简化同时不失一般性，这也是我们处理数学问题的常用方法.

人们把这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.这个分割点叫做黄金分割点，称1:0.618为黄金分割比.

一些美术家认为，如果人的上、下身长之比接近黄金分割数，那么可以增加美感.据说，一些名画和雕塑中的人体都符合这个比例.比如，著名的女神维纳斯的雕像就符合这个比例.

5分钟

活动3

确定线段黄金分割点的作图

同学们，请思考这个问题：每一条线段都存在黄金分割点吗？我们如何通过作图确定这个点的位置？

回忆求黄金分割数的过程，如果线段AB的长度为a，我们只需要作出就可以确定点C的位置了，可是CB长是无理数，怎么构造出来呢？

首先我们先尝试将表示线段CB的代数式变形，得到：

，我们首先想办法构造，一步步来，看到，我们回忆一下在学习勾股定理那一章的时候，我们是如何在数轴上找到无理数对应的点？对了，是利用直角三角形的勾股定理来构造，如果一个直角三角形的两条直角边为1和2，那么根据勾股定理可得斜边长为

而我们要作出的是，只需作出两直角边为的直角三角形，就可以得到斜边长为

也就是我们先做一条线段AB,再作BD⊥AB且BD=12AB,连接AD，这样就得到了一个两直角边分别为的直角三角形，由勾股定理可得斜边长为.

再截取DE=BD，此时AE=

最后截取BC=AE，此时，可得线段AB的黄金分割点C.

同学们发现了吗？如果最后截取AC=AE，,可以得到线段AB的另一个黄金分割点

也就是说，点C和点C’都是线段AB的黄金分割点，即一条线段都存在两个黄金分割点。

8分钟

活动四

黄金分割数的应用

长期以来，很多人认为黄金分割数是一个特别的数，它除了能够在雕塑和绘画中增加美感之外，还有什么应用呢？

我们来看国旗上的正五角星，就是黄金分割数美的体现，

其中，通过这个等式，你能否发现，N点是线段BM、BE、AP、AC的黄金分割点，你还能找出图中其他的黄金分割点吗？当然M、P、Q、R点也是4条线段的黄金分割点，这样我们就给正五角星的庄严雄健之美找到了数学的依据啦！

在建筑范畴中，巴台农神庙是具有黄金分割比例代表意义的建筑，它被赞颂为世界艺术史上最完美的古典建筑之一，神庙采用圆柱式结构，侧墙东西宽31米，山墙顶离地19米，即东西立面高与宽之比为19:31，接近黄金分割数，让人觉得神庙非常雄伟和优雅.

19

19米

31

31米

人们也将短边与长边之比为黄金分割数的矩形称为黄金矩形.

如果把这个矩形抽象为矩形ABCD

以AB为边在矩形内部作正方形ABFE，你能证明矩形EFCD仍为黄金矩形吗？

通过计算我们可以发现

继续这样分割下去，我们就可以得到黄金螺旋

像不像鹦鹉螺壳，我们不禁感叹大自然的神奇与伟大，无处不蕴含着数学之美！

同时在生产、生活实际及科学实验中，伟大的数学家华罗庚也曾致力于推广“0.618优选法”，应用黄金分割的原理为国家节省了大量的人力和资源.

1分钟

活动五

课堂小结

综合训练

一、选择题

1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P