2020年中考数学基础题专练：20以相似三角形为背景的证明与计算.pdf

专题20以相似三角形为背景的证明与计算

考点分析

【例1】（2019·辽宁中考真题）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以

CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．

（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，

求证：①∠CAD＝∠CDF，

②BD＝EF；

（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BD＝EF，理由见解析.

【解析】

（1）证明：①∵∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝90°，

∵∠CDF+∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDF；

②作FH⊥BC交BC的延长线于H，

则四边形FECH为矩形，

∴CH＝EF，

在△ACD和△DHF中，

CADHDF





ACDDHF90



ADDF



，

ACDDHF(AAS)

DHAC

，

ACCB

，

DHCB

，

DHCDCBCD，即HGBD，

BDEF

；

（2）BDEF，

理由如下：作FGBC交BC的延长线于G，

则四边形FECG为矩形，

CGEF

，

CADGDFACDDGF90

，，

ACD∽DGF

，

DGDF

2

ACAD，即DG2AC，GF＝2CD，

∵BC＝2AC，CE＝2CD，

∴BC＝DG，GF＝CE，

∴BD＝CG，

∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，

∴四边形FECG为矩形，

∴CG＝EF，

∴BD＝EF．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助

线和掌握各判定定理.

【例2】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点

E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且

GEFBAC180

．

（1）如图1，当B45时，线段AG和CF的数量关系是．

（2）如图2，当B30时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．

3

cosB

（3）若AB6，DG1，4，请直接写出CF的长．

1

AGCF

【答案】（1）AGCF；（2）2，理由见解析；（3）2.5或5

【解析】

解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，

∵DE垂直平分AB，

AEBE

，

BAEB45

，

AEBC

，

ABAC

，

BEECAEBAEEACC45

，，

GEFBAC180