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2024年河南新乡一模·数学

详解详析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.D

2.B

3.C

4.C

【解析】如图，设等腰直角三角形的斜边与矩形纸片的夹角为∠3，∵∠3＝∠1+∠B，∠1＝20°，∠B＝45°，∴∠3＝65°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝65°．

5.A

【解析】a2a

6.D

【解析】如图，连接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA和OC是⊙O的半径，∴OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝6.

7.C

【解析】∵x*a＝3，∴x2﹣2x﹣3a＝3，方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0，解得a?＞?

8.D

【解析】小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱可有：AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种等可能的结果，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱BC）的概率为16

9.A

【解析】由|x1|＜|x2|，得A（x1，y1）到y轴的距离小于B（x2，y2）到y轴的距离，由抛物线y=12x2+1的对称轴为y轴，开口向上，得

10.B

【解析】如答案图①，连接BD、DE、BF，DE、AC交于点F，BD、AC交于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴点B、D关于直线AC对称，∴FB＝FD，∴y最小＝FB+FE＝FD+FE＝DE，观察函数图象可知，当点F与A重合时，FE+FB＝3，即AE+AB＝3．∵点E是AB的中点，∴AE=12AB，∴AB+12AB＝3，解得AB＝2，∴AE＝EB＝1，当点F在点C处时，FE+FB＝2+7，∵BC＝AB＝2，∴FE=7，如答案图②，作CG⊥AB于点G．∴∠G＝90°，设BG长x，在Rt△CBG中，CG2＝CB2﹣BG2，在Rt△CEG中，CG2＝CE2﹣EG2，∴22﹣x2＝7﹣（1+x）2，解得x＝1，∴BG＝1，∴cos∠CBG?=12，∴∠CBG＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝BA＝2，AD∥CB，∴∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，∴DB＝DA，∵点E是AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴DE=AD2?AE2=3．

二、填空题

11.x≥1

【解析】由题意得，4x﹣1≥0，解得x≥14

12.y＝﹣x+1(答案不唯一)

【解析】对于一次函数y＝kx+b，当k＜0，b≥0时，函数图象经过第一、二、四象限，所以k可以取﹣1，b可以取1，此时一次函数表达式为y＝﹣x+1．（答案不唯一）

13.238

【解析】由扇形统计图可知，c%＝1﹣20%﹣20%﹣32%＝28%，∴估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有850×28%＝238（名）．

14.3

【解析】在Rt△ABC中，AC=AB2?BC2=(23)2?(3)2=3，∵sin∠BAC=BCAB=323=12，∴∠BAC＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵∠BAP＝90°，∴AB⊥PA，∠PAC＝60°，∴PA

15.52或

【解析】∵点A（3，4）在直线l：y＝kx+10上，∴3k+10＝4，解得k＝﹣2，∴直线l的关系式为y＝﹣2x+10，如图，过点A、C分别作AM⊥x轴，CN⊥x轴，垂足分别为M、N，过点C作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作y轴的平行线交CE于点D，∵点A（3，4），∴OM＝3，AM＝4，∴OA=OM2+AM2=5，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠CON＝180°﹣90°＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠CON，又∵∠OMA＝∠CNO＝90°，∴△AOM?△OCN（AAS），∴ON＝AM＝4，CN＝OM＝4﹣3＝3，由平移得△AOM?△BCD（AAS），∴CD＝OM＝3，BD＝AM＝4，∴DE＝ON﹣CD＝1，点B的纵坐标为BD+CN＝4+3＝7，∴点C（﹣4，3），点B（﹣1，7），当y＝3时，即﹣2x+10＝3，解得x?=72，4?+72=152，∴点C沿着x轴的正方向平移152个单位，点C落在直线l上；当y＝7时，即﹣2x+10＝7，解得x=32，1+32=52，∴点B沿着

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三、解答题

16.解：（1）原式＝1+2+2﹣3

＝2；

（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；二；

用小刚的思路给出这道题的正确解法如下，

（x+3y）2﹣2（x2﹣9y2）

＝（x+3y）2﹣2（x+3y）（x﹣3y）

＝（x+3y）（x+3y﹣2x+6y）

＝（x+3y）（9y﹣x）.

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