线性代数 第六版 配套课件.pptx

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2第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组第四章特征值问题和矩阵的对角化第五章二次型目录

3第一章

行列式

4第一节二阶、三阶行列式(一)二阶行列式

5方程组有唯一解

6引入记号定义称为二阶行列式.主对角线对角线法则二阶行列式的计算

7记对于二元线性方程组称系数行列式则方程组有唯一解---克莱姆法则

8例1解例2

9例解

10(二)三阶行列式三元线性方程组

11引入记号定义称为三阶行列式。

12对角线法则说明：1、三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.2、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

13如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组—克莱姆法则记则该方程组的解为

14例解按对角线法则，有

15解例按对角线法则，有

16例3

17例解

18例4解即为所求充分必要条件。

19例5解方程左端

20例解线性方程组解

21故方程组的解为

22例解设所求的二次多项式为由题意得得故所求多项式为插值问题

23二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算小结：

24第二节n阶行列式(一)排列与逆序由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组i1i2…in,称为一个n级排列.定义在一个n级排列i1i2…in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit),则称it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为

N(i1i2…in).n级排列共有n!个.如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.

25例1排列326145中，326145N(326145)=6，例偶排列n元自然序排列，偶排列例当n=4k或4k+1时，n(n-1)…21是偶排列；当n=4k+2或4k+3时，n(n-1)…21是奇排列.

26排列逆序逆序数奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3级排列共有3!=6种.其排列情况见下表：

27在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其它数码不变，得到另一个排列,这样的变换，称为一个对换。定理任一排列经过一次对换后改变奇偶性。定理n个数码(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

28(二)n阶行列式(1)三阶行列式共有3!=6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列312是偶排列,列标排列132是奇排列,

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30定义用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号定义为determinantn阶行列式是n!项的代数和,不同列的n个元素的乘积.每项都是位于不同行、

31所表示的代数和中有4!=24项.例如，四阶行列式例如,a11a22a33a44项取号,a11a24a33a44不是D的项.a14a23a31a42项取号,+-

32D中各项中不为零的项只有a11a22…ann，其他项均为零，由于N(12…n)=0，因此这一项取正号，得例2计算上三角行列式解

33同理可得下三角行列式

34特殊情况：这种行列式称为对角行列式。

35例2计算行列式解练习：推广到n阶情况。

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37例设含的项有两项，即解

38第三节行列式的性质说明行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式称为行列式D的转置行列式。记证略

39性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号。例如证略推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。证明互换相同的两行，有

40性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式,即证略说明行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,可以提到行列式符号的外面。推论如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。

41性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：例如注意：一次只能拆一行或一列。证略

42例