2024高中数学 311两角差的余弦公式作业B 新人教A版必修4.doc

2024高中数学3两角差的余弦公式作业B新人教A版必修4

1若cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cos(αeq\f(π,3))＝________

2满足eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\f(1,2)的角x(eq\f(π,2)＜x＜0)是________

3设cos(αeq\f(β,2))＝eq\f(1,9)，sin(eq\f(α,2)β)＝eq\f(2,3)，其中α∈(eq\f(π,2)，π)，β∈(0，eq\f(π,2))，求coseq\f(α＋β,2)

4已知cosαcosβ＝eq\f(1,2)，sinαsinβ＝eq\f(1,3)，求cos(αβ)

B86答案

1解析：∵cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\r(1cos2α)＝eq\r(1\f(1,25))＝eq\f(2\r(6),5)

∴cos(αeq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2\r(6),5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1＋6\r(2),10)

答案：eq\f(1＋6\r(2),10)

2解析：eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝cos(xeq\f(π,6))＝eq\f(1,2)

∵eq\f(π,2)＜x＜0，∴xeq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,6)

答案：eq\f(π,6)

3解：∵α∈(eq\f(π,2)，π)，β∈(0，eq\f(π,2))，∴αeq\f(β,2)∈(eq\f(π,4)，π)，eq\f(α,2)β∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，

∴sin(αeq\f(β,2))＝eq\r(1cos2（α\f(β,2)）)＝eq\r(1\f(1,81))＝eq\f(4\r(5),9)

cos(eq\f(α,2)β)＝eq\r(1sin2（\f(α,2)β）)＝eq\r(1\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)

∴coseq\f(α＋β,2)＝cos[(αeq\f(β,2))(eq\f(α,2)β)]＝cos(αeq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)β)＋sin(αeq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)β)

＝eq\f(1,9)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)

4解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ＝\f(1,2)，①,sinαsinβ＝\f(1,3)，②))

①2＋②2得cos2α2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α2sinαsinβ＋sin2β＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＝eq\f(13,36)

即22(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(13,36)∴cos(αβ)＝eq\f(59,72)故cos(αβ)的值是eq\f(59,72)