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递归数列通项公式的求法

确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。

根底知识

定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。假设是线性的，那么称为线性递归数列，否那么称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。

求递归数列的常用方法：

一．公式法

(1)设是等差数列，首项为，公差为，那么其通项为；

(2)设是等比数列，首项为，公比为，那么其通项为；

(3)数列的前项和为，那么。

二．迭代法

迭代恒等式：；

迭乘恒等式：，()

迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：

类型一：，求通项；

类型二：，求通项；

三．待定系数法

类型三：，求通项；

四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为〔〕，其特征方程为，其根为特征根。

〔1〕假设特征方程有两个不相等的实根，那么其通项公式为〔〕，其中A、B由初始值确定；

〔2〕假设特征方程有两个相等的实根，那么其通项公式为〔〕，其中A、B由初始值确定。

证明：设特征根为，那么

所以====

即是以为公比，首项为的等比数列。

所以，所以

(1)当时，那么其通项公式为，其中，；

(2)当时，那么其通项公式为，其中

求递推数列通项的特征根法

一、形如是常数〕的数列

形如是常数〕的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①

假设①有二异根，那么可令是待定常数〕

假设①有二重根，那么可令是待定常数〕

再利用可求得，进而求得

例1数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，解得，令，

由，得，

例2数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，解得，令，

由，得，

二、形如的数列

对于数列，是常数且〕

其特征方程为，变形为…②

假设②有二异根，那么可令〔其中是待定常数〕，代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得

假设②有二重根，那么可令〔其中是待定常数〕，代入的值可求得值。

这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得

例3数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，化简得，解得，令

由得，可得，

数列是以为首项，以为公比的等比数列，，

例4数列满足，求数列的通项

解：其特征方程为，即，解得，令

由得，求得，

数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

五．代换法

代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下

类型五：，，求通项。

六．不动点法

假设，那么称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而到达求解的目的。

类型六：(1)，且，求通项；

(2)，求通项；

七．数学归纳法

八．构造法

典例分析

例1．数列{an}中，a1=1,an+1an,且成立，求。

例2．正数数列满足：，其中，求。

例3．数列{an}满足：，求。

例4．，证明：该数列中的一切数都是整数。

例5．，求。

例6．数列满足，且，求的通项公式。

例7．，求。

例8．数列满足，求。

例9．，求的通项公式。

例10．数列满足：，且，求的通项公式。

例11．假设数列的前项和为，且满足，求的通项公式。

拓展：假设数列的前项和为，且满足，求的通项公式。

(参考答案：，其中)

例12．设数列满足：，且，，

证明：(……)是完全平方数。

练习题：

1．数列满足，求数列的通项

2．数列满足，求数列的通项

3．数列满足，求数列的通项

4．数列满足，求数列的通项

练习答案：

1．解：其特征方程为，解得，令，

由，得，

2．解：其特征方程为，解得，令，

由，得，

3．解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，

4．解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，

数列是以为首项，以为公差的等差数列，，