2024高中数学 241平面向量数量积的物理背景及其含义（二）作业A 新人教A版必修4.doc

241平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

一基础过关

1已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是 ()

A0 Ba Cb Dc

2若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 ()

A30° B60° C120° D150°

3已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3ab|等于

A7 B6 C5 D4

4在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()

Aeq\f(3,2) B0 Ceq\f(3,2) D3

5在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于 ()

Aeq\f(4,9) Beq\f(4,3) Ceq\f(4,3) Deq\f(4,9)

6设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与aλb垂直，则λ＝________

7已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(ab)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2)

(1)求向量a，b的夹角；

(2)求|ab|

8设n和m是两个单位向量，其夹角是eq\f(π,3)，求向量a＝2m＋n与b＝2n3m的夹角

二能力提升

9若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为 ()

A0 Beq\f(π,6) Ceq\f(π,3) Deq\f(π,2)

10已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|ate|≥|ae|，则 ()

Aa⊥e Ba⊥(ae)

Ce⊥(ae) D(a＋e)⊥(ae)

在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))

的最小值是________

12已知平面上三个向量abc的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°

(1)求证：(ab)⊥c；

(2)若|ka＋b＋c|1(k∈R)，求k的取值范围

三探究与拓展

13已知非零向量a，b，且a＋3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与

答案

1B2C3A4A5A6±eq\f(3,5)7(1)45°(2)eq\f(\r(2),2)

8解∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，

∴m·n＝|m||n|coseq\f(π,3)＝1×1×eq\f(1,2)

＝eq\f(1,2)

|a|＝|2m＋n|＝eq\r(?2m＋n?2)

＝eq\r(4×1＋1＋4m·n)

＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq\r(7)，

|b|＝|2n3m|＝eq\r(?2n3m?2)

＝eq\r(4×1＋9×2m·n)

＝eq\r(4×1＋9×2×\f(1,2))＝eq\r(7)，

a·b＝(2m＋n)·(2n3

＝m·n6m2＋2

＝eq\f(1,2)6×1＋2×1＝eq\f(7,2)

设a与b的夹角为θ，则

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝eq\f(1,2)

又θ∈[0，π]，

∴θ＝eq\f(2π,3)，故a与b的夹角为eq\f(2π,3)

9D10C2

12(1)证明因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且abc之间的夹角均为120°，

所以(ab)·c＝a·cb·c

＝|a||c|cos120°|b||c|cos120°＝0，

所以(ab)⊥c

(2)解因为|ka＋b＋c|1，

所以(ka＋b＋c)21，

即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c

所以k2＋1＋1＋2kcos120°＋2kcos120°＋2cos120°1

所以k22k0，解得k0，或k2

所以实数k的取值范围为k0，或k2

13解由