【全程复习方略】20242024学年高中数学 223向量数乘运算及其几何意义课时提升卷 新人教A版必修4 .doc

向量数乘运算及其几何意义

（45分钟100分）

一选择题(每小题6分，共30分)

1下列说法中正确的是()

Aλa与a的方向不是相同就是相反

B若a，b共线，则b=λa

C若|b|=2|a|，则b=±2

D若b=±2a，则|b|=2|a

2将112[2(2a+8b)4(4a

A2ab B2ba Cab D

3(2024·牡丹江高一检测)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→=a，OB→=b且满足BE→=EC→

Ab3a B32a+

C12a+32b D12

4已知e1≠0，λ∈R，a=e1+λe2，b=2e1，则a与b共线的条件是()

Aλ=0 Be2=0

Ce1∥e2 De1∥e2或λ=0

5若非零且不共线的向量a，b满足|ab|=|b|，则()

A|2b||a2b| B|2b||a2b|

C|2a||2ab| D|2a||2

二填空题(每小题8分，共24分)

6已知P1P→=23PP2→，若

7已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(填序号)

①a=e1，b=2e2；

②a=e13e2，b=2e1+6e2；

③a=3e134e2，b=2e112e

④a=e1+e2，b=e13e2

8若AP→=tAB→(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP→=

三解答题(9题～10题各14分，题18分)

9计算：

(1)6(ab+c)4(a2b+c)2(2a+c

(2)12(3a+2b)-23a-b7612a+37

10如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设AE→=a，AF→=b，试用a，b表示向量A

(能力挑战题)设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论

答案解析

1【解析】选DA错误当λ=0时，此说法不正确；

B错误当a=0，b≠0时，不存在实数λ使b=λa；

C错误若|b|=2|a|，则b与a未必共线；

D正确若b=±2a，则|b|=2|a

2【解析】选B112[2(2a+8b)4(4a

=112(4a+16b16a+8b)=112(12

【变式备选】已知a=b+c，化简3(a+2b)2(3b+c)2(a+b)=()

Aa Bb

Cc D以上都不对

【解析】选D3(a+2b)2(3b+c)2(a+b)

=3a+6b6b2c2a

=a2b2c=a2(b+c)=a2a

3【解析】选B如图所示，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OC→=OA

所以BC→=OC

因为BE→=

所以BE→=12BC→

又因为AB→=OB→

所以AE→=AB→+BE→=ba12(

4【解析】选D(1)当e1∥e2时，a=e1+λe2

不妨设e1=μe2，μ∈R，所以a=(λ+μ)e2，

b=2μe2，故a与b共线

(2)当e1与e2不共线时，设a=μb，μ∈R，

则e1+λe2=2μe1，即(12μ)e1+λe2=0，

所以1-2μ=0,λ=0,

所以a与b共线的条件是λ=0，

综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ=0

5【解析】选A设OA→=a，OB

则BA→=ab，且OB=AB，再作BC

则CA→=a2

在△ABC中，由于AB+BCCA，

即|b|+|b||a2b|，所以|2b||a2b|，

作AD→=a

则BD→=OD→O

在△ABD中，由于BA+ADBD，

所以|b|+|a||2ab

又|a|与|b|的大小不确定，

故|2a|与|2a

【误区警示】对向量线性运算的几何意义由于理解不透致误

在进行向量的线性运算时易忽略向量的加减法的几何意义，不能把向量的线性运算与几何意义相结合

6【解析】如图所示，因为P1P→

所以点P在线段P1P2上，且|P1P

所以PP1→与P1P

所以PP1→=25

答案：2

7【解析】因为e1，e2是不共线的向量，

所以e1，e2都不是零向量

①若a与b共线，由于a=e1≠0，

所以存在实数λ，使b=λa，即2e2=λe1，

所以e2=λ2e1，于是e1，e2

所以a与b不共线

②因为b=2e1+6e2=2(e13e2)=2a，

所以a与b共线

③因为b=2e112e2=23(3e134e2)=2

所以a与b共线

④若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a=λb，

即e1+e2=λ(e13e2)

所以(1λ)e1+(1+3λ)e2=0

因为e1，e2是不共线向量，

所以1-λ=0,1+3λ=0,所以

所以a与b不共线

答案：②③

8【解题指南】首先利用向量减法的几何意义将AP→和AB→用OA→，OB→，OP→

【解析】AP→=t

OP→OA→

OP→=OA→+t

=(1t)OA→

答案：(1t)O