【学案导学设计】20242024学年高中数学 221 用样本的频率分布估计总体分布（2）学案 新人教A版必修3.doc

221用样本的频率分布估计总体分布(二)

【明目标知重点】

1了解频率折线图和总体密度曲线的定义

2理解茎叶图的概念，会列频率分布折线图茎叶图

3了解频率分布直方图频率折线图茎叶图的各自特征，会选择上述方法分析样本的分布做出总体估计

【填要点记疑点】

1频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图

(2)总体密度曲线

随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比

2茎叶图

(1)适用范围：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好

(2)优点：它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便

(3)缺点：当样本数据较多时，枝叶就会很长，茎叶图就显得不太方便

【探要点究所然】

探究点一频率分布折线图总体密度曲线的概念

思考1如下图，在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各组数据的平均值大致是哪些数？

答大致是这些小长方形下端的中点的横坐标，即025，075，125,175,225,275,325,375,425

思考2在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图，你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？

答由于折线图是取了长方形上端的中点，即每一组数据平均值对应的频率，所以能大致反映样本数据的频率分布

思考3当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月均用水量)，随着样本容量增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？

答由于组数的增多，组距减少，长方形上端中点的数量增多，且相距越近，各相邻长方形上端中点的折线越短，折线变得近似于曲线

思考4在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线那么下图中阴影部分的面积有何实际意义？

答图中阴影部分的面积，就是总体在区间(a，b)内的取值的百分比

思考5对于一个总体，如果存在总体密度曲线，能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？为什么？

答不能由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本样本的容量和分组情况的变化而变化的，因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线

探究点二茎叶图

问题某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：

甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；

乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39

思考1你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？

答中间的数字表示得分的十位数，旁边的数字分别表示两个人得分的个位数从图中看出乙运动员的发挥更稳定

思考2在统计中，思考1中的图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，那么“茎”“叶”分别指的是哪些数？

答茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数

小结茎叶图的定义：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图

思考3一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？

答第一步，将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分；

第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；

第三步，将各个数据的叶按次序写在茎右(左)侧

思考4你认为用茎叶图表示数据的分布情况有哪些优点？又有什么缺陷？

答优点：(1)保留了原始数据，没有损失样本信息；(2)数据可以随时记录添加或修改；(3)可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征

缺陷：茎叶图只方便记录两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观清晰

例1某中学甲乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：

甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,0,107；

乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,4,98,79,101

画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较

解甲乙两人数学成绩的茎叶图如图所示

从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好

反思与感悟茎叶图和频率分布表极为类似，事