【学案导学设计】20242024学年高中数学 331 几何概型学案 新人教A版必修3.doc

§33几何概型

331几何概型

【明目标知重点】

1了解几何概型的定义及其特点

2了解几何概型与古典概型的区别

3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率

【填要点记疑点】

1几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型

2几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个

(2)每个基本事件出现的可能性相等

3几何概型的概率公式

P(A)＝

eq\f(构成事件A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?)

【探要点究所然】

[情境导学]在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题

探究点一几何概型的概念

思考1计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？

答(1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算

思考2某班公交车到终点站的时间可能是：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？

答出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的

思考3下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜你认为甲获胜的概率分别是多少？

答以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为eq\f(1,2)；以转盘(2)为游戏工具时，甲获胜的概率为eq\f(3,5)

思考4上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？

答与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关

思考5玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？

答如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等

思考6古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？

答相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；

不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个

例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型

(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

(2)思考3中，求甲获胜的概率

解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型

反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型

跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：

(1)某月某日，某个市区降雨的概率

(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率

解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性

探究点二几何概型的概率公式

问题对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？

思考1有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？

答从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点

如上图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生由于中间一段的长度等于绳长的eq\f(1,3)，

于是事件A发生的概率P(A)＝eq\f(1,3)

思考2射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色黑色蓝色红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是