第7节 抛物线的定义与方程(原卷版).pdf

第七节抛物线及其标准方程

第七节抛物线及其标准方程

▍知识导学▍

1.抛物线的定义

ll

（1）定义:把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹.

FF

（2）焦点:定点抛物线的焦点.

F

（）准线:直线叫做抛物线的准线.l

3

PMMFd,d为点M到准线l的距离

（4）集合表示:.

注意:

（）定点不在定直线上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过点垂直于直线的一条直线.ll

1FMF

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这

也是利用抛物线定义解题的实质.

2.标准方程的推导:

lxOxOy

如图,以过F且垂直于的直线为轴,垂足为.以,的中点为坐标原点建立直角坐标系.

KFK

pp

KFpp0,0x

设,那么焦点的坐标为,准线的方程为l.

F

22

M(x,y)ld

设点是抛物线上任意一点,点到的距离为.

M

由抛物线的定义,抛物线就是集合P{M‖MF∣d}

2

因为|MF|xpy2,dxp

22



2

p2p

所以xyx

22

将上式两边平方并化简,得y22px(p0)①

p

方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上,坐标是,0它的准线方程是

x

2

p

x

.

2

3.抛物线的标准方程:

2(p0)2(p0)2