中考几何5大最值问题（解析版）.pdfVIP

中考几何5大最值问题

模型一：将军饮马问题

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´AB，即AP´+BP´AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小

（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PAPA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

方法总结：

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.

模型二：阿氏圆问题

阿氏圆问题

问题：求解“APnPB”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“APnPB”转化为“APPM”问题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

模型三：胡不归问题

识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）

方法：

1kAPBPk1

、将所求线段和改为的形式（）

2、作CAD，使sink

3、过点B作BEAD交AC于点P

4、kAPBP的最小值转化为垂线段的长

1

kAPBPk(APBP)按常规模型算即可

k

模型四：隐圆

（一）：定点定长作圆

点为定点，点为动点，且长度固定，

ABAB

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

（二）：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.

位置关系点D在圆O内点D在圆O上点D在圆O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交O

此时点E的位置