天津市实验中学滨海学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）.docx

2024－2025学年第一学期期中质量调查高三年级（数学）试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A． B． C． D．

2．“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若，，，则（）

A． B． C． D．

4．函数的大致图象为（）

A． B．

C． D．

5．若，为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则与相交

6．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

7．下列三个关于函数的命题：

①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；

②函数的图象关于对称；

③函数在上单调递增．

其中，真命题的序号是（）

A．① B．② C．③ D．以上皆不对

8．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

9．定义在上的偶函数满足，且当时，

若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

10．复数_________．

11．在的展开式中，含的项的系数为_________．

12．_________．

13．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为_________．

14．如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于_________，表面积等于_________．

15．在中，是边的中点，是线段的中点．设，，记，则_________；若，的面积为，则当_________时，取得最小值．

三、解答题

16．已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，．

（1）求角的大小；

（2）求的面积；

（3）求的值．

17．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）求点A到平面的距离．

18．已知函数，其图象与直线的交点的横坐标为，，且的最小值为．

（1）求的最小正周期和对称中心坐标；

（2）求函数在区间上的取值范围；

（3）求函数的单调递增区间．

19．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求平面ADF与平面BDF夹角余弦值；

（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．

20．已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处切线的方程；

（2）当时，求函数的极值；

（3）若，证明对任意，，恒成立．

期中考试答案

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

B

A

C

B

C

D

C

B

C

10． 11．80 12．1 13．

14．622 15．2 16．（1）（2）5（3）

17．【详解】（1）连结，设，

因为四边形为正方形，所以为中点．设为的中点，连结，，

则，且．

由已知，且，

所以，．所以四边形为平行四边形．

所以，即．

因为平面，平面，所以平面．

（2） （3）

18．（1），， （2）

（3），

19．（1）证明见解析；关注天津考生公众号获取必威体育精装版试卷

【详解】（1）法一：设，连结，，

矩形中是线段的中点，是线段的中点，

所以，，所以为平行四边形，故，

又平面，平面，所以平面；

法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，

面面，，面，所以面，

以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，是线段的中点，

则，，，，，，

从而，，，，

设面的法向量为，则由，可知，

令，则，，从而面BDE的一个法向量为，

则，又平面，所以，从而面．

（2）； （3）的最大值为．

20．（1）；

（2）极大值为，极小值为；

（3），在内是减函数，

又，不妨设，则，，

于是等价于，

即，

令，

在内是减函数，

故，

从而在内是减函数，对任意，有，

即，

当，对任意，，恒成立．