专题08 倍半角模型（原卷版）.pdfVIP

专题08倍半角模型

【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.

【必备知识】等腰三角形与“倍半角”

在等腰△ABC中，AB=AC，则ÐCAD=2ÐB

D

A

BC

【模型建立】

（一）向外构造等腰,得到“半”角

aqa

如图，在直角三角形中，若tanq=，则tan=

b2b+c

θ

2

c

θ

c

b

a

已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”

（二）向内构造等腰得到“倍”角

如图，在Rt△的直角边上取点，向内构造等腰，设x，在粉色Rt△中，由勾股定理可以解出x，从而得到

q

tan

2

c

ba-x

2θθ

xa-x

a

已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”；

可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；

【特殊“半角”】

(一)15°角

问题：如何计算tan15°的值呢?

由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；

如图，先构造一个含30°角的Rt△ABC，设BC=1,CA=3,AB=2，再延长CA至D使AD=AB=2，连

1°

接BD，构造出等腰△ABD，则ÐD=ÐBAC=15,故在Rt△DBC中，有

2

°BC1

tan15===2-3.

DC2+3

B

12

30°

C3A2D

(二)22．5°角

°BC1

构造可得tan22.5===2-1

DC2+1

DC°

而tan67.5°==2+1,tan22.5与tan67．5°互为倒数.

BC

B

12

45°22.5°

C1A2D

(三)“345”三角形

3

①如图，Rt△ABC三边比为3：4：5，Rt△BCE三边比为1:3:10,即若tanÐBAC=,

4

11

tanÐE=tanÐBAC=

23

E

5

A

5

4

C3B