四川省宜宾中学高三数学 25 指数与指数函数学案 新人教A版.doc

25指数与指数函数

1分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q

2指数函数的图象与性质

y＝ax

a1

0a1

图象

定义域

(1)R

值域

(2)(0，＋∞)

性质

(3)过定点(0,1)

(4)当x0时，y1；

当x0时，0y1

(5)当x0时，0y1；

当x0时，y1

(6)在(∞，＋∞)上是增函数

(7)在(∞，＋∞)上是减函数

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)(eq\r(4,?4?))4＝4(×)

(2)(1)＝(1)＝eq\r(1)(×)

(3)函数y＝ax是R上的增函数(×)

(4)函数y＝(a1)的值域是(0，＋∞)(×)

(5)函数y＝2x1是指数函数(×)

(6)函数y＝(eq\f(1,4))1x的值域是(0，＋∞)(√)

1若a＝(2＋eq\r(3))1，b＝(2eq\r(3))1，则(a＋1)2＋(b＋1)2的值是()

A1 Beq\f(1,4)

Ceq\f(\r(2),2) Deq\f(2,3)

答案D

解析a＝(2＋eq\r(3))1＝2eq\r(3)，b＝(2eq\r(3))1＝2＋eq\r(3)，

∴(a＋1)2＋(b＋1)2＝(3eq\r(3))2＋(3＋eq\r(3))2

＝eq\f(1,126\r(3))＋eq\f(1,12＋6\r(3))＝eq\f(2,3)

2设函数f(x)＝a|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，则()

Af(2)f(1) Bf(1)f(2)

Cf(1)f(2) Df(2)f(2)

答案A

解析∵f(x)＝a|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，

∴a2＝4，∴a＝eq\f(1,2)，

∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝2|x|，

∴f(2)f(1)

3函数f(x)＝axeq\f(1,a)(a0，a≠1)的图象可能是()

答案D

解析函数f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象D适合

4已知0≤x≤2，则y＝3·2x＋5的最大值为________

答案eq\f(5,2)

解析令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，

又y＝22x13·2x＋5，∴y＝eq\f(1,2)t23t＋5

＝eq\f(1,2)(t3)2＋eq\f(1,2)，

∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝eq\f(5,2)

题型一指数幂的运算

例1化简：(1)(a0，b0)；

(2)(eq\f(27,8))＋(0002)10(eq\r(5)2)1＋(eq\r(2)eq\r(3))0

思维点拨可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算

解(1)原式＝

＝ab1

(2)原式＝eq\f(10,\r(5)2)＋1

＝10(eq\r(5)＋2)＋1

＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)10eq\r(5)20＋1＝eq\f(167,9)

思维升华(1)指数幂的运算首先将根式分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数

(1)化简eq\r(4,16x8y4)(x0，y0)得()

A2x2yB2xyC4x2yD2x2y

(2)＝________

答案(1)D(2)eq\f(8,5)

解析(1)eq\r(4,16x8y4)＝

＝

＝＝2(x)2(y)

＝2x2y

(2)原式＝

题型二指数函数的图象和性质

例2(1)函数f(x)＝axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()

Aa1，b0

Ba1，b0

C0a1，b0

D0a1，b0

(2)已知函数f(x)＝2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________

答案(1)D(2)(∞，4]

解析(1)由f(x)＝axb的图象可以观察出函数f(x)＝axb在定义域上单调递减，所以0a1函数f(x)＝axb的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0

(2)令t＝|2xm|，则t＝|2xm|