旋转模型——费马点 压轴好题（原卷版）-初中数学.pdf

旋转模型——费马点压轴好题（原卷版）

1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方

向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A．10B．C．D．

第1题第2题

2．（2023秋•翠屏区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人

们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠

BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离

为．

3．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段

AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．

4．（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA＝OB，△

AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得到ON，连

接CN，AM，BM．（1）求证：△AMO≌△CNO；（2）若A点坐标为（0，4）；①当AM+BM的值最小时，请直接写

出点M的坐标；②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由．

5．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D为△ABC外一点，连接AD，

过点A作AE⊥AD，交BC于点E，过点D作DH⊥AB，垂足为H，HD＝BC．

（1）求证：AE＝AD；

（2）如图2，延长AB到点G，连接GD，使得∠HGD＝∠ADH，F为AC上一点，连接FG、FE，若FE⊥AE．求证：

EF+GF＝GD；

（3）如图3，点K在△GHD内，连接KG、KH、KD，当KG+KH+KD的值最小时，直接写出∠KGH+∠KDH的值．

6．（2024•铜梁区校级模拟）已知△ABC中AB＝BC，点D和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE，∠BED＝90°．

（1）如图1，若BD＝BA，∠ABC＝2∠D，BE＝2，求AC的长度；

（2）如图2，连接AD和CD，点F为AD中点，点G为CD中点，连接EF和BG，若EF＝BG，求证：∠BAC＝∠DBE；

（3）若∠ABC＝60°，AB＝2，当取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出△BDE的面积．

7．（2023春•渠县校级期末）如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两

分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．

（1）证明：EF＝DF；

（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝

∠GEC，证明：CG＝CM．

（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使

得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．

8.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个

等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．

【基础巩固】

（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，

AC=4√6，求AE+BE+CE=；

【尝试应用】

（2）如图2，等边三角形ABC边长为4√3，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°

得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

（3）如图3