专题08几何证明题（不含辅助线）（解析版）.pdfVIP

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题9

——几何证明题（不含辅助线）（成都专用）

1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引

出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分

得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个

三角形的完美分割线．

(1)如图1，在△中，为角平分线，∠=40°，∠=60°，求证：是△的完美

分割线；

(2)在△中，∠=48°，是△的完美分割线，且△为等腰三角形，求∠

的度数；

△=2=△△

(3)如图2，在中，，2，是的完美分割线，且是以

为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．

【答案】(1)见详解；

(2)114°或96°；

(3)=6−2

【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△不是等腰三角形，②△是等腰

三角形，③△∽△即可得到答案；

==

（2）分三种情形讨论即可①如图2，当时，②如图3中，当时，③如图

=∠

4中，当时，分别求即可；

=△∽△=

（3）设，利用，得列出方程即可解决问题．

【详解】（1）解：∵∠=40°，∠=60°，

∴∠=80°，

∴△不是等腰三角形，

∵为角平分线，

1

∠=∠=∠=40°，

2

∴∠=∠，

∴△是等腰三角形，

∵∠=∠，∠=∠，

∴△∽△，

∴是△的完美分割线；

（2）解：∵△为等腰三角形，

当=时，

∠=∠=48°，

∵Δ∽Δ，

∴∠=∠，

∠=96°；

当=时，

180°−48°

∠=∠==66°，

2

∵Δ∽Δ，

∴∠=∠，

∴∠=66°+48°=114°；

当=时，

∠=∠=48°，

∵Δ∽Δ，

∴∠=∠=48°，

∵∠∠，

矛盾舍去；

综上所述114°或96°；

（3）解：由题意可得，

==2，

∵Δ∽Δ，

∴=，

设=，

2

∴(2)=(+2)，

∵0，

∴=3−1，

∵Δ∽Δ，

3−1

∴==，

2

∴=6−2．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解

题意，学会分类讨论思想．

2．（2020秋·四川