高中数学人教A版（2019）必修第一册课件：2.1等式性质与不等式性质.pptxVIP

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系.

2.了解不等式(组)的实际背景.

3.了解不等式一些基本的性质.

1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.

2.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.

用不等式(组)正确表示出不等关系.

探究一：不等关系及其表示

●事实上，在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号

“≠”“”“”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

●在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a,b是两个实数，那么a≥b即为ab或a=b;a≤b即为ab或a=b.

问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(1)某路段限速40km/h;

解：对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40,于是0v≤40.

(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应该不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;

对于(2),由题意，得(半个大括号表示同时.)

(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

对于(3),设△ABC的三条边为a,b,c,则a+bc,a-bc.

(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

对于(4),如图2.1-1,设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB,垂足为D,E

是线段AB上不同于D的任意一点，则CD

@正确云

AEDB

图2.1-1

CE.

C

问题2

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?

分析：首先要统一单位，第一句是从“元”到“万”,所以第二句中的2000应该改为0.2万.

解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为x万元.于是，不等关系

“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为①

求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.

探究一。实数的大小比较

初中学过的不等式性质

性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变

性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变

性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2,设a,b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时，ab;当点A在点B的右边时，ab.(说明：

当点A与点B重合时，a=b)

关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：

如果a-b是正数，那么ab;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b

是负数，那么ab,反过来也对.

这个基本事实可以表示为a=b⇔a-b=0;

ab⇔a-b0;

ab⇔a-b0·

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较

它们的差与0的大小.

总结：

1.要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.

2.差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.

例1比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

解：因为(x+2)(x+3)一(x+1)(x+4)

=(x²+5x+6)一(x²+5x+4)

=20,

所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4).

这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法(也叫作差法).

探究三：一个重要不等式

图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?

图2.1-3

答：相等关系为直角三角形为等腰直角三角形时，4个三角形的面积和等于正方