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二次函数与线段交点问题教学方法探究

【摘要】二次函数是初中数学的重要学习内容，二次函数的应用，无论是数学中的应用

还是实际问题应用都是学生学习过程中比较集中的难点所在.在近几年的北京中考试卷中，

二次函数与已知线段交点问题出现频率非常高，因此也是初三复习阶段的重要专题.解决此

类问题，要引导学生充分利用函数图象，多动手画图，从动态角度分析找到变化过程中的临

界位置.

【关键词】二次函数；数形结合；临界位置；动态分析

二次函数与已知线段交点问题是近几年中考的热点问题，在教学过程中要循序渐进，引

导学生从理解二次函数各项系数意义入手，充分利用函数图象，数形结合解决问题.

一基于动态视角，理解二次函数各项系数意义

对于二次函数的研究，人教版教材中分为三个部分进行学习.在学完第一个基础内容图

象与性质后，又继续学习了二次函数与一元二次方程的关系，并分别从形和数两个角度进行

了阐述.最后一部分学习利用二次函数解决实际应用问题，借助数学建模思想从实际问题中

抽象出数学问题求解，典型问题有最值问题、建系求表达式等.

在学习过程中我们发现，无论是研究二次函数与已学知识间的联系问题，还是探究二次

函数实际应用问题，或者是代数综合问题，都与二次函数的基础知识——各项系数意义紧密

联系.本节内容，我们以回顾二次函数各项系数意义为入手点，综合复习二次函数应用部分

的内容.

在学习新知的过程中，以及做过的一些练习题目中见过的二次函数图象变化类型，大致

包含以下三类：

1图象的平移

图1

顶点式的学习过程中曾多次应用，结合一般式的各项系数进行总结，在图象发生平移

abyc

时，二次项系数保持不变，会发生变化，如果抛物线与轴交点发生变化，则说明也

发生变化.

2图象的翻折（旋转180°）

图2

当图象发生翻折时，抛物线开口大小不变，开口方向相反，对应的解析式中二次项系数

abc

变为相反数，变为相反数，也发生变化.

3“开花”图形

图3

这是由一组开口方向一致大小不同的抛物线组成的“开花”图形，从动态角度观察这组

图象，会发现越大抛物线开口越小，在“开花”过程中顶点位置不变，对应的解析式中

cb

不变，会发生变化.

以上三种变化类型中，平移和翻折过程中，抛物线的形状不变，位置变化，“开花”图

形中位置不变，形状变化.

结合以上图形变化规律，可以归纳图象变化与二次函数各项系数之间的对应关系，图形

变化包括抛物线的形状变化和位置变化，形状变化主要涉及到解析式中二次项系数a的变

a

化，的正负决定抛物线开口方向，大小决定抛物线开口大小.位置变化则主要涉及到对

称轴的位置和顶点位置.

在解决复杂数学问题时，通常需要综合分析以上几个方面的变化分析，再结合二次函数

性质分析解决问题.由此可见，准确把握二次函数各项系数意义，以及图象变化与各项系数

之间的对应关系是非常必要的，变化关系可以简单的总结为a定形状，顶点坐标定位置.各

项系数意义可以再换个角度，从解决实际问题的过程中进行体会.

二数形结合，动态分析抛物线与已知线段交点问题

AB

例1如图，点，的坐标分别为（1,4）和（4,4），抛物线的顶点在线

ABxCDCDC

段上运动，它与轴交于，两点（点在点的左侧），若点横坐标的最小值为-

D

3，则点横坐标的最大值为（）

（A）-3（B）1（C）5（D）8

图4

AB

分析：已知，两点坐标，首先确定线段的位置固定，另外，由纵坐标相等可知线段

ABy

所在直线垂直于轴，又根据抛物线顶点在线段上运动，可知图象进行了平移，那么解

题的