奥数编程课程贪心算法.docVIP

[0-1背包问题]有一个背包，背包容量是M=150kg。有7个物品，物品不可以分割成任意大小。

要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

物品ABCDEFG

重量35kg30kg6kg50kg40kg10kg25kg

价值10$40$30$50$35$40$30$

分析：

目标函数：∑pi最大

约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi=M(M=150）

⑴根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

⑵每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

⑶每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。

可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

对于例题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

⑴贪心策略：选取价值最大者。

反例：

W=30

物品：ABC

重量：281212

价值：302020

根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

⑵贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。

⑶贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。

反例：

W=30

物品：ABC

重量：282010

价值：282010

根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。

【注意：如果物品可以分割为任意大小，那么策略3可得最优解】

对于选取单位重量价值最大的物品这个策略，可以再加一条优化的规则：对于单位重量价值一样的，则优先选择重量小的！这样，上面的反例就解决了。

但是，如果题目是如下所示，这个策略就也不行了。

W=40

物品：ABC

重量：252015

价值：252015

数学应用

如把3/7和13/23分别化为三个单位分数的和

【贪心算法】

设a、b为互质正整数，ab分数a/b可用以下的步骤分解成若干个单位分数之和：

步骤一：用b除以a，得商数q1及余数r1。（r1=b-a*q1）

步骤二：把a/b记作：a/b=1/(q1+1）+(a-r1)/b(q1+1）

步骤三：重复步骤2，直到分解完毕

3/7=1/3+2/21=1/3+1/11+1/231

13/23=1/2+3/46=1/2+1/16+1/368

以上其实是数学家斐波那契提出的一种求解埃及分数的贪心算法，准确的算法表述应该是这样的：

设某个真分数的分子为a，分母为b;

把b除以a的商部分加1后的值作为埃及分数的某一个分母c；

将a乘以c再减去b，作为新的a；

将b乘以c，得到新的b；

如果a大于1且能整除b，则最后一个分母为b/a；算法结束；

或者，如果a等于1，则，最后一个分母为b；算法结束；

否则重复上面的步骤。

备注：事实上，后面判断a是否大于1和a是否等于1的两个判断可以合在一起，及判断b%a是否等于0，最后一个分母为b/a，显然是正确的。

马踏棋盘的贪心算法

123041-23XX

【问题描述】

马的遍历问题。在8×8方格的棋盘上，从任意指定方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。

【初步设计】

首先这是一个有哪些信誉好的足球投注网站问题，运用深度优先有哪些信誉好的足球投注网站进行求解。算法如下：

⒈输入初始位置坐标x,y；

⒉步骤c:

如果c64输出一个解，返回上一步骤c--

（x,y)←c

计算(x,y）的八个方位的子结点，选出那些可行的子结点

循环遍历所有可行子结点，步骤c++重复2

显然⑵是一个递归调用的过程，大致如下：

#defineN8

voiddfs(intx,inty,intcount)

{

inti,tx,ty;

if(countN*N)

{

output_solution();//输出一个解

return;

}

for(i=0;i8;i++)

{

tx=hn[i].x;//hn[]保存八个方位子结点

ty=hn[i].y;

s[tx][ty]=count;

dfs(tx,ty,count+1);//递归调用

s[tx][ty]=0;

}

}