第1节 空间向量及其运算(原卷版).pdf

第一节空间向量及其运算

第一节空间向量及其运算

▍知识导学▍

1.空间向量的有关概念

（1）在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量.

注意:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中.



|a|AB

（2）向量的长度（模）:向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为或.

（3）特殊向量

长度为0的向量叫做零向量,记为0.

模长为的向量称为单位向量.

1

方向相同且模相等的向量称为相等向量.

aaa

与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.

2.空间向量的线性运算

（1）空间向量的加减法运算法则:

与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为:





OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

（）空间向量的加法运算满足交换律及结合律:

2

交换律:abba.

结合律:(ab)ca(bc).

a

（）的方向和长度

3

0aa0aaaa

当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反.的长度是的长度的倍.即

|a||||a|

（）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:

4

分配律:(ab)ab

结合律:(a)()a.其中,R.

3.共线向量

（1）定义:表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线或平行向量.

ab

（2）共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数,使.

注意:因为零向量与任意向量平行,即对任意向量,都有∥.所以共线定理中的不可丢掉,否则实数

a0ab≠0

不存在,但依然有a∥b.

（3）方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,

则对于直线l上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条





件可知,存在实数,使得,把与向量平行的非零向量称

OPaa

为直线l的方向向量.直线l上任意一点都可以由直线l上一点和

他的方向向量去表示.

4.共面向量

（）定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

1

第一节空间向量及其运算

（2）共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数

对（x,y）,使p＝xa＋yb.

→→→

（）空间一点位于平面