河北省保定市示范高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学 含解析.docx

高三年级期中考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含圆锥曲线、统计、概率）．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则（）

A． B． C． D．

2．设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

5．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（）

A． B． C． D．

6．若数列和满足，，，则（）

A． B． C． D．

7．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（）

A． B． C． D．

8．设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（）

A．0 B．1012 C．2024 D．4048

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（）

A．该方程存在实数根 B．，

C．z对应的点在第四象限 D．

10．设函数，，则下列结论正确的是（）

A．当时，在点处的切线方程为

B．当时，有三个零点

C．若有两个极值点，则

D．若，则正实数的取值范围为

11．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点，下列说法正确的是（）

A．平面平面

B．若，则动点的轨迹为抛物线的一部分

C．当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为

D．线段AD绕旋转一周，在旋转过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．设数列是公比为的等比数列，．若的连续四项是集合，中的元素，则q的值为___________．

13．已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为___________．

14．过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为___________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且．

（1）若，求的面积；

（2）求的最小值．

16．（15分）

如图，四边形为梯形，，，四边形为矩形，且平面，，为FB的中点．

（1）证明：平面．

（2）在线段FD（不含端点）上是否存在一点M，使得直线BM与平面所成角的正弦值为？若存在，求出BM的长；若不存在，说明理由．

17．（15分）

已知函数．

（1）当时，若在上单调递增，求的取值范围；

（2）若且在上有两个极值点，求的极大值与极小值之和的取值范围．

18．（17分）

已知数列的首项，其前项和满足．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值．

19．（17分）

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作argz．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．

请根据所学知识，回答下列问题：

（1）试将写成三角形式（辐角取主值）．

（2）类比高中函数的定义，引人虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．

①当时，解关于的方程；

②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为，点，以PA为边作等边，且在AP的上方，求线段OQ的最大值．

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数学参考答案

1．【答案】C

【解析】因为集合，所以．故选C．

2．【答案】D

【解