第4节 充分条件与必要条件(原卷版).pdf

第四节充分条件与必要条件

第四节充分条件与必要条件

▍知识导学▍

1.命题的概念及结构

（1）命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题.

判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.

pqpq

（2）命题的表示:命题表示为“若,则”时,是命题的条件,是命题的结论.

2.充分条件条件与必要条件

（）充分条件与必要条件定义

1

pqpqpq

①一般地,“若,则”为真命题,是指由条件通过推理可以得出结论.这时,我们就说,由可推出,

pqpqqp

记作,并且说,是的充分条件,是的必要条件.

pqpqp¿qpq

②如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.这时,我们就说,不是的充

qp

分条件,不是的必要条件.

（2）充分条件与必要条件的关系

pqpqqppqpqqp

是的充分条件反映了,而是的必要条件也反映了,所以是的充分条件与是的

pqpqqp

必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而是的充分条件只反映了,与能否推出

没有任何关系.

3.充要条件

pqqppqqp

（）充要条件的定义:“若,则”和其逆命题“若,则”均为真命题,即既有,又有,

1

pqpqqpq

就记作.此时,是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称充要条件.

pqq¿ppq

（2）如果且,则称是的充分不必要条件.

p¿qqppq

（）如果且,则称是的必要不充分条件.

3

p¿qq¿ppq

（4）如果且,则称是的既不充分也不必要条件.

4.充分必要条件与集合的关系

pqA{x|px}B{x|qx}

若条件,以集合的形式出现,即,,

ABpq

则由可得,是的充分条件,

AÜBpq

①若,则是的充分不必要条件;

BApq

②若,则是的必要条件;

BÜApq

③若,则是的必要不充分条件;

pq

④若BA,则是的充要条件;

AÜBBÜApq

⑤若且,则是的既不充分也不必要条件.

充分必要条件判断精髓:

小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两个集合范

围一样,就是充要条件的关系.