上海市虹口区2024届高三数学第三次模拟考试试题 理.doc

2024年虹口区第三次模拟考试（理科试卷）

满分150分，时间120分一填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1若，且，则实数的值为_________

2不等式的解集为_________

3已知（为虚数单位），则复数的值为_______

4展开式的常数项为___________

5已知数列是等差数列，数列是等比数列，

则的值为_______

6一个算法的程序框图如右，则其输出结果为_________

7随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之积为6的倍数的概率为_________

8设函数的图象过点，其反函数的图象过点，则等于_________

9已知向量，函数，且图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为，则的解析式为__________

10如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为___________

在极坐标系中，若直线被圆截得的弦长为，则实数__________

12已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最小值为_________

13关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为_______

14关于曲线，有如下结论：

=1\*GB3①曲线关于原点对称；

=2\*GB3②曲线关于直线对称；

=3\*GB3③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；

=4\*GB3④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；

=5\*GB3⑤曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形

其中所有正确结论的序号为__________

二选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分

15对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是，则（）

A B C D

16对于函数，若存在，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数是准偶函数的是（）

A B C D

17点是半径为1的球面上的四个点，线段两两垂直，若用分别表示的面积，则的最大值为（）

A B2 C4 D8

18已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点且，与两渐近线相交于两点（如图），

若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（）

A B C D4

三解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须

在答题纸的规定区域内写出必要的步骤

19（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分

如图，在所有棱长为2的正三棱柱中，为的中点，求

（1）直线与平面所成角的大小；

（2）点到平面的距离

20（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分

已知函数，

（1）求函数的最大值与最小值；

（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围

21（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分

已知抛物线的焦点为

（1）点满足，当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；

（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由

22（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分

定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为

（1）已知点满足，求向量的模的最小值；

（2）设，求证：，并求函数的“相伴向量”模的取值范围；

（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围

23（本题满分18分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分

某情报部门获取一些信息密需要破译，密可以看成一个数列，记为，并且满足，，其中表示该数列的前项和

（1）求出的值，对任意的，写出与的关系的各种表达式；

（2）有一条密可由数列的前100项组成，试问共可组成多少条不同的密，为什么？（3）若一条密可由数列的前10项组成，且，试问组成的密是否唯一确定？并说明理由